Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，且OC=OB．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時點E的坐標；
（3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉90°后，點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，

∴ ，

解得： ，

∴所求拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）解：如圖2，過點E作EF⊥x軸于點F，

設E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），

∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a，

∴S四邊形BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF，

= （a+3）（﹣a2﹣2a+3）+ （﹣a2﹣2a+6）（﹣a），

=﹣ ﹣ a+ ，

=﹣ （a+ ）2+ ，

∴當a=﹣ 時，S四邊形BOCE最大，且最大值為 ．

此時，點E坐標為（﹣ ， ）；

（3）解：∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x=﹣1，點P在拋物線的對稱軸上，

∴設P（﹣1，m），

∵線段PA繞點P逆時針旋轉90°后，點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上，

①當m≥0時，

∴PA=PA1，∠APA1=90°，

如圖3，過A1作A1N⊥對稱軸于N，

設對稱軸于x軸交于點M，

∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°，

∴∠NA1P=∠NPA，

在△A1NP與△PMA中，

，

∴△A1NP≌△PMA，

∴A1N=PM=m，PN=AM=2，

∴A1（m﹣1，m+2），

代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，

解得：m=1，m=﹣2（舍去），

②當m＜0時，要使P2A=P2A，2，由圖可知A2點與B點重合，

∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，

∴P2（﹣1，﹣2），

∴滿足條件的點P的坐標為P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．

【解析】（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數法即可求出二次函數的解析式；（2）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，FO為E的橫坐標的絕對值，EF為E的縱坐標，已知C的縱坐標，就知道了OC的長．在三角形BFE中，F=BO﹣OF，因此可用E的橫坐標表示出BF的長．如果根據拋物線設出E的坐標，然后代入上面的線段中，即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值．即可求出此時E的坐標；（3）由P在拋物線的對稱軸上，設出P坐標為（﹣1，m），如圖所示，過A′作A′N⊥對稱軸于N，由旋轉的性質得到一對邊相等，再由同角的余角相等得到一對角相等，根據一對直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的對應邊相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐標，將A′坐標代入拋物線解析式中求出相應m的值，即可確定出P的坐標．