Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+ 與y軸相交于點A，點B與點O關于點A對稱．
（1）填空：點B的坐標為；
（2）過點B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點C，過點C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點P是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（0， ）
（2）解：∵B點坐標為（0， ），

∴直線解析式為y=kx+ ，

解得：x=﹣ ．

∴OC=﹣ ．

∵PB=PC，

∴點P只能在x軸上方，

如圖，過點B作BD⊥l于點D，設PB=PC=m，

則BD=OC=﹣ ，CD=OB= ，

∴PD=PC﹣CD=m﹣ ，

在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣ ）2+（﹣ ）2，

解得：m= + ．

∴PB= + ．

∴點P坐標為（﹣ ， + ）．

當x=﹣ 時，代入拋物線解析式可得：y= + ，

∴點P在拋物線上．

【解析】解：（1）∵y=﹣x2+ 的頂點A的坐標為（0， ）， ∴原點O關于點A的對稱點B的坐標為（0， ），
所以答案是：（0， ）；
【考點精析】關于本題考查的拋物線與坐標軸的交點，需要了解一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能得出正確答案．