Question

【題目】綜合與探究 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)且與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若為直線上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐 標(biāo)；

（3）已知分別是直線和拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形 是平行四邊形，且以為邊時(shí)，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．

【解析】

（1）求得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式，獲得b，c的值，即可求出拋物線的解析式；

（2）通過平行線分割2倍角條件，得到相等的角關(guān)系，利用等角的三角函數(shù)值相等，得到點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）B，O，E，F四點(diǎn)作平行四邊形，當(dāng)OB為邊時(shí)，以EF=OB的關(guān)系建立方程求解.

解：在中，令得，令得

把代入，

得

解得：

拋物線的解析式為

如圖，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)

軸

即

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

則

，

即

解得：

經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解

當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

點(diǎn)的坐標(biāo)為或

當(dāng)BO為邊時(shí)，OB∥EF，OB=EF

設(shè)E(m,m+2)，F(m, m2+m+2)

EF==2

解得=2，，

當(dāng)=2時(shí)，m+2=×2+2=1；

當(dāng)時(shí)，m+2=×（2-2）+2=1+；

當(dāng)時(shí)，m+2=×（2+2）+2=1-

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)或(2-2,1+)或(2+2,1-).

故答案為（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．