Question

【題目】在平面直角坐標系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（見圖1），且

（1）求a、b的值；

（2）①在x軸的正半軸上存在一點M，使三角形COM的面積是三角形ABC的面積的一半，求出點M的坐標；

②在坐標軸的其它位置是否存在點M，使三角形COM的面積三角形ABC的面積的一半仍然成立? 若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標；

（3）如圖2，過點C作CD⊥y軸交y軸于點D，點P為線段CD延長線上的一動點，連接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．當點P運動時， 的值是否會改變？若不變，求其值；若改變，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=-2，b=3；（2）滿足條件的點M坐標為（2.5，0）或（-2.5，0）或（0，5）或（0，-5）；（3）=2，理由見解析．

【解析】試題分析：

（1）由列出關于a、b的方程組，即可解得a、b的值；

（2）①由題意設點M的坐標為（x，0），在OM=，結合△COM的面積是△ABC面積的一半，列出方程，解方程結合點M在x軸的正半軸即可求得此時點M的坐標；

②由①中的結果可得點M在x軸負半軸時的坐標；當M在y軸上時，可設點M的坐標為（0，y），結合△COM的面積是△ABC面積的一半，列出方程，解方程即可求得點M在y軸上的符合條件的坐標；

（3）由題意易證∠OPD=∠POB=2∠BOF，∠DOE+∠DOF=90°，∠BOF+∠DOF=90°，由此可得到∠OPD=2∠BOF=2∠DOE，從而可得=2.

試題解析：

（1）∵ ，

∴ ，解得 ；

（2）①由（1）中結論可知點A、B的坐標分別為（-2，0）和（3，0），

∴AB=5，

又∵點C的坐標為（-1，2），

∴S△ABC=，

當點M在x軸上時，設點M的坐標為（x，0），則OM=，由題意可得：

，解得，

∵點M在x軸的正半軸，

∴點M的坐標為（2.5，0）；

②由①中結論可知當點M在x軸的負半軸時，點M的坐標為（-2.5，0）；

當點M在y軸上時，如下圖，可設點M的坐標為（0，y），則OM=，由題意可得：

，解得： ，

∴此時點M的坐標為（0，5）或（0，-5）；

綜上所述，當點M在坐標軸上時，其坐標分別為（2.5，0）、（-2.5，0）、（0，5）和（0，-5）；

（3）如圖2，∵CD⊥y軸，

∴CD∥OB，

∴∠OPD=∠POB，

∵OF平分∠POB，

∴∠OPD=∠POB=2∠BOF，

∵OE⊥OF，

∴∠EOF=∠DOB=90°，

∴∠DOE+∠DOF=∠DOF+∠BOF=90°，

∴∠DOE=∠BOF，

∴∠POD=2∠DOE，

∴=2.