Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2=（k≠0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)O是線段CH的中點(diǎn)，AC=4，cos∠ACH=．

（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使三角形PAC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為：y2=﹣，一次函數(shù)解析式為y1=﹣2x+4；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，0）．

【解析】分析：(1)解直角△ACH求得CH與AH，即可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；由點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；(2)因?yàn)辄c(diǎn)A，C確定，點(diǎn)P在x軸上，所以設(shè)P(m，0)，分三種情況求解，①頂點(diǎn)是點(diǎn)A時(shí)，②頂點(diǎn)是點(diǎn)C時(shí)，③頂點(diǎn)是點(diǎn)P時(shí).

詳解：(1)∵AC＝，cos∠ACH＝，∴，

解得CH＝4，

由勾股定理得，AH＝＝8，

∵點(diǎn)O是線段CH的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2，8)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0)，

∴反比例函數(shù)的解析式為：y2＝﹣，

由點(diǎn)A，C的坐標(biāo)列方程組，

解得，，

∴一次函數(shù)解析式為y1＝﹣2x＋4；

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)，

①當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，PH＝CH＝4，則OP＝6，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣6，0)；

②當(dāng)點(diǎn)C為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，PC＝CA＝，

則OP＝＋2或﹣2，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2﹣，0)或(＋2，0)；

③當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P為AC垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，PA＝PC，

則(2﹣m)2＝(﹣2﹣m)2＋82，

解得，m＝﹣8，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣8，0)．，