Question

如圖，面積為39的直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)C在軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為，AB=，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，且AD：BD=2︰3．有一45°的角的頂點(diǎn)E在軸上運(yùn)動，角的一邊過點(diǎn)D，角的另一邊與直線OA交于點(diǎn)F(點(diǎn)D、E、F按順時針排列),連結(jié)DF.設(shè)CE=，OF=.

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)E在軸正半軸上運(yùn)動，求與的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻，使得△DEF成為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）  （2）(3) 存在，理由見解析

解析:（1）  （1個對2分；2個對3分）     …………………3分

（2）當(dāng)E在OC上時，如圖，

 可得∽       ……………………………4分

∴  即…………5分

∴   ……………………6分

當(dāng)E在C的右側(cè)上時，如圖，

可得∽

∴  即  ∴     ……………………7分

(3)當(dāng)E在OC上時，如圖，

若EM=ED，則≌

∴

∴作于點(diǎn)N

∴

若DM=DE，則,如圖

作，則≌

∴

∴,

若MD=ME，則,如圖

過M作于點(diǎn)N交直線AB于點(diǎn)H，可得≌

設(shè)ON=，則MN=,MH=,DH=

由MN=DH得：=，    ∴

當(dāng)E在C的右側(cè)時，如圖，

,,

 

∴不可能是等腰三角形

 

當(dāng)E在O的左側(cè)時，如圖，

∴ 只能EM=ED，此時≌

∴

∴∴

綜合得：，，

，     …………………………12分

（第一個正確答案得2分，以后每對一個得1分）

（1）根據(jù)直角梯形的面積求得B點(diǎn)坐標(biāo)，通過AD：BD=2︰3，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過A作OC的垂線，垂足為G,可求得AG=OG,從而得出的度數(shù)

（2）分兩種情況討論，當(dāng)E在OC上時，當(dāng)E在C的右側(cè)上時，通過相似三角形可求得與的函數(shù)關(guān)系式

(3)當(dāng)E在OC上時，由三種可能：EM=ED、DM=DE、MD=ME；當(dāng)E在C的右側(cè)時，不可能是等腰三角形，當(dāng)E在O的左側(cè)時，只能EM=ED時，使得△DEF成為等腰三角形