【題目】操作:將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上,并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動,直角的一邊始終經(jīng)過點B,另一邊與射線DC相交于點Q,設A、P兩點間的距離為x.
探究:
(1)當點Q在邊CD上時,線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系?試證明你觀察到的結論;
(2)當點Q在邊CD上時,設四邊形PBCQ的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;(3)當點P在線段AC上滑動時,△PCQ是否能成為等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置,并求出相應x的值;如果不可能,試說明理由.
【答案】(1)、PQ=PB;證明過程見解析;(2)、y=(0≤x<
);(3)、x=0或1.
【解析】
試題分析:(1)、過點P作MN∥BC,分別交AB、CD于點M、N,則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形,△AMP和△CNP都是等腰三角形,得出NP=NC=MB,從而證明△QNP≌△PMB,從而得出答案;(2)、設AP=x,則M=MP=NQ=DN=x,BM=PN=CN=1-
x,根據(jù)題意得出△PBC和△PCQ的面積,然后得出y與x的函數(shù)關系式;(3)、本題分三種情況進行討論,即①當點Q在邊DC上;②當點Q在邊DC的延長線上;③當點Q與C點重合.
試題解析:(1)、過點P作MN∥BC,分別交AB、CD于點M、N,則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形,
△AMP和△CNP都是等腰三角形(如圖1),∴NP=NC=MB.
∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°,而∠BPM+∠PBM=90°∴∠QPN=∠PBM.
又∵∠QNP=∠PMB=90°∴△QNP≌△PMB(ASA),∴PQ=PB.
(2)、由(1)知△QNP≌△PMB,得NQ=MP.
設AP=x,∴AM=MP=NQ=DN=x,BM=PN=CN=1-
x ∴CQ=CD-DQ=1-2×
x=1-
x
∴S△PBC=BCBM=×1×(1-x)=
-
x,
S△PCQ=CQPN=×(1-x)(1-
x)=
,
∴S四邊形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=, 即y=
(0≤x<
).
(3)、△PCQ可能成為等腰三角形.
①當點Q在邊DC上,由得:
解得x1=0,x2=(舍去);
②當點Q在邊DC的延長線上(如圖2),由PC=CQ得:-x=
x-1,
解得x=1.
③當點Q與C點重合,△PCQ不存在.
綜上所述,x=0或1時,△PCQ為等腰三角形
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若關于x的方程(m﹣2)x2+x﹣1=0是一元二次方程,則m的取值范圍是(( 。
A. m≠2 B. m=2 C. m≥2 D. m≠0
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣
x﹣2圖象與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左側).若C(m,1﹣m)是拋物線上位于第四象限內的點,D是線段AB上的一個動點(不與A,B重合),過點D分別作DE∥BC交AC于E,DF∥AC交BC于F.
(1)、求點A和點B的坐標;
(2)、求證:四邊形DECF是矩形;
(3)、連接EF,線段EF的長是否存在最小值?若存在,求出EF的最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】列方程或方程組解應用題:
為了響應“十三五”規(guī)劃中提出的綠色環(huán)保的倡議,某校文印室提出了每個人都踐行“雙面打印,節(jié)約用紙”.已知打印一份資料,如果用A4厚型紙單面打印,總質量為400克,將其全部改成雙面打印,用紙將減少一半;如果用A4薄型紙雙面打印,這份資料的總質量為160克,已知每頁薄型紙比厚型紙輕0.8克,求A4薄型紙每頁的質量.(墨的質量忽略不計)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A.∠M=∠N B.AM=CN C.AB=CD D.AM∥CN
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