Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AC為直徑的⊙O恰為△ABC的外接圓，∠ABC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E．

（1）求證： DE是⊙O的切線；

（2）若AB＝2，BC＝，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）DE＝ ．

【解析】

（1）直接利用圓周角定理以及結合切線的判定方法得出DE是⊙O的切線；

（2）首先過點C作CG⊥DE，垂足為G，則四邊形ODGC為正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．

（1）證明：連接OD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝45°，

∴∠AOD＝90°，

∵DE∥AC，

∴∠ODE＝∠AOD＝90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，

∴AC＝，

∴OD＝，

過點C作CG⊥DE，垂足為G，

則四邊形ODGC為正方形，

∴DG＝CG＝OD＝，

∵DE∥AC，

∴∠CEG＝∠ACB，

∴tan∠CEG＝tan∠ACB，

∴，即,

解得：GE＝，

∴DE＝DG+GE＝．