Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接AC，BC，過(guò)A，B，C三點(diǎn)作拋物線(xiàn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠BCE的平分線(xiàn)CD交⊙O′于點(diǎn)D，連接BD，求直線(xiàn)BD的解析式；

（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第三問(wèn)改成，在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD的面積是△BCD面積的三分之一，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）直線(xiàn)BD的解析式為y=x﹣9；（3）符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P1（，），P2（14，25）．

【解析】分析：（1）已知了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出OA、OB的長(zhǎng)，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的長(zhǎng)，即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；

（2）本題的關(guān)鍵是得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，CD平分∠BCE，如果連接O′D，那么根據(jù)圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標(biāo)為（4，-5）．根據(jù)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BD的解析式；

（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：

①過(guò)D作DP∥BC，交D點(diǎn)右側(cè)的拋物線(xiàn)于P，此時(shí)∠PDB=∠CBD，可先用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，然后根據(jù)BC與DP平行，那么直線(xiàn)DP的斜率與直線(xiàn)BC的斜率相同，因此可根據(jù)D的坐標(biāo)求出DP的解析式，然后聯(lián)立直線(xiàn)DP的解析式和拋物線(xiàn)的解析式即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后將不合題意的舍去即可得出符合條件的P點(diǎn)．

②同①的思路類(lèi)似，先作與∠CBD相等的角：在O′B上取一點(diǎn)N，使BN=BM．可通過(guò)證△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一樣，先求直線(xiàn)DN的解析式，進(jìn)而可求出其與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即P點(diǎn)的坐標(biāo)．

綜上所述可求出符合條件的P點(diǎn)的值．

詳解：（1）∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴．

又∵A（﹣1，0），B（9，0），

∴，

解得OC=3（負(fù)值舍去）．

∴C（0，﹣3），

故設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+1）（x﹣9），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a=，

∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+1）（x﹣9），

即y=x2﹣x﹣3．

（2）∵AB為O′的直徑，且A（﹣1，0），B（9，0），

∴OO′=4，O′（4，0），

∵點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠BCE的平分線(xiàn)CD交⊙O′于點(diǎn)D，

∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，

連接O′D交BC于點(diǎn)M，

則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．

∴O′D⊥x軸

∴D（4，﹣5）．

∴設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=kx+b（k≠0）

∴

解得

∴直線(xiàn)BD的解析式為y=x﹣9．

（3）假設(shè)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD，

設(shè)射線(xiàn)DP交⊙O′于點(diǎn)Q，則．

分兩種情況（如圖所示）：

①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

∴把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合，

因此，點(diǎn)Q1（7，﹣4）符合，

∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），

∴用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)DQ1解析式為y=x﹣．

解方程組

得或

∴點(diǎn)P1坐標(biāo)為（，），坐標(biāo)為（，）不符合題意，舍去．

②∵Q1（7，﹣4），

∴點(diǎn)Q1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q2（7，4）也符合．

∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．

∴用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)DQ2解析式為y=3x﹣17．

解方程組，得，

∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為（14，25），坐標(biāo)為（3，﹣8）不符合題意，舍去．

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P1（，），P2（14，25）．