Question

【題目】如圖（1）已知矩形在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)以每秒2個單位長度的速度沿運(yùn)動（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），設(shè)運(yùn)動時間為秒．

（1）求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）點(diǎn)在（1）中的拋物線上，當(dāng)為中點(diǎn)時，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，如圖（2）過點(diǎn)作，軸，垂足分別為、，設(shè)矩形與重疊部分面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值；

（4）如圖（3）點(diǎn)在（1）中的拋物線上，是延長線上的一點(diǎn)，且、兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，、是位于直線同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)到軸的距離為，的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)或；（3），當(dāng)時，最大；（4）

【解析】

（1）由直角三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)C，點(diǎn)D坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求解析式；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得DM=AM，PD=AP，可得點(diǎn)P在AD的垂直平分線上，可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入可求解；
（3）由題意可證△ACB是等邊三角形，可得CM=2t-4，BF=（8-2t）=4-t，MF=- t，AF=t，即可求重疊部分面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；
（4）先求出直線AC，BP的解析式，即可求點(diǎn)P坐標(biāo)．

解：（1）∵四邊形是矩形，

∴，，且，，

∴，

∴點(diǎn)，點(diǎn)，

設(shè)拋物線解析式為，代，

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）∵為中點(diǎn)，

∴，

∵△PAM≌△PDM，

∴，

∴點(diǎn)在的垂直平分線上，

∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴，

∴，，

∴點(diǎn)或；

（3）如圖2，∵，，

∴，，

∴△ACB是等邊三角形，

由題意可得：，，，．

∵四邊形是矩形，

∴，，，

∴，，

∴△CMH是等邊三角形，

∴，

∵，

當(dāng)時，最大；

（4）∵，又，

∴，

∴，

設(shè)直線解析式為，把，代入其中，

得，

∴，

∴直線解析式為：，

設(shè)直線的解析式為，

把代入其中，得，

∴，
∴直線解析式為：，

∴，

∴（舍去），，

∴．