Question

【題目】已知二次函數(shù)．

（1）甲說(shuō)：該二次函數(shù)的圖象必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)．乙說(shuō)：若圖象的頂點(diǎn)在x軸上，則，你覺(jué)得他們的結(jié)論對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，，求證；

（3）甲問(wèn)乙：“我取的k是一個(gè)整數(shù)，畫(huà)出它的圖象后發(fā)現(xiàn)拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在y軸右側(cè)，一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)和之間，你知道k等于幾嗎？并求出k的值．

Answer 1

【答案】（1）甲，乙的結(jié)論都錯(cuò)誤，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）k=1

【解析】

（1）把函數(shù)表達(dá)式變形為y+3x2=k（x2-2x+6），求出當(dāng)x=-2，y=-12時(shí)，，，可得結(jié)論；根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0從而可得k的值；

（2）將點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，得到含k的表達(dá)式，進(jìn)行乘積運(yùn)算，最后進(jìn)行配方即可得到結(jié)論；

（3）分和 兩種情況分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，，求得，此時(shí)無(wú)整數(shù)k；當(dāng)時(shí)，根據(jù)以及拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)和之間可求得，從而求得整數(shù)k的值.

（1）∵

∴

當(dāng)x=-2，y=-12時(shí)，，，

故該二次函數(shù)的圖象不是必經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

因此，甲的結(jié)論不正確；

對(duì)于函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（， ），

∵圖象的頂點(diǎn)在x軸上，

∴

解得，，，

因此，圖象的頂點(diǎn)在x軸上，則k=0或；

故乙的結(jié)論錯(cuò)誤；

（2）把，分別代入得，

，，

∴，

∵

∴；

（3）分兩種情況：

（i）當(dāng)時(shí)，即，由拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得，

解得，，

∴，

∴不存在整數(shù)k；

（ii）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)， ，

∴，

∵拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)和之間，

∴當(dāng)x=-3時(shí)，y=，

解得，，

∴，

∴整數(shù)k=1.