Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,6)，B(4,0)，若以PB為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形△PBC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______.

Answer 1

【答案】（10，2）或（6，4）或（8，8）.

【解析】

以PB為邊在第一象限內(nèi)作正方形，此時(shí)正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)、以及正方形對(duì)角線的交點(diǎn)為所求點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)N，易證,可得M=BN,BM=,根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)可知PM與BM的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求坐標(biāo)，結(jié)合P點(diǎn)坐標(biāo)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求的中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得符合條件的三個(gè)點(diǎn)C的坐標(biāo).

如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作PB的垂線并截取=PB,過(guò)點(diǎn)P作PB的垂線并截取=PB,連接,則四邊形為正方形，連接、交于點(diǎn)，則、、均為等腰直角三角形，此時(shí)、、即為所求的點(diǎn)C.

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)N，則∠PMB= =90°,

∵=90°,

∴∠PBM+=90°,

又∵∠MPB+∠PBM=90°,+= 90°,

∴∠MPB=,∠PBM=,

又∵=PB,

∴,

∴PM=BN,BM=,

∵P(2,6)，B(4,0)，

∴PM=6,OM=2,OB=4,

∴BN=6, =2,

∴ON=10,

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（10,2），

∵為的中點(diǎn)，P(2,6)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,4），

又∵為的中點(diǎn)，B(4,0)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（8,8），

故符合題意的點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（10，2）或（6，4）或（8，8）.