Question

【題目】如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在右側(cè)作等邊三角形，記到的距離為，到的距離為，

(1)若，試求線段的長(zhǎng)，并求m1、m2的值.

(2)若，用含的代數(shù)式表示,，并求在∠C的平分線上時(shí)x的值.

Answer 1

【答案】(1)DE=，m1=，m2=0；(2)，，當(dāng)在的平分線上時(shí)x=1.

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)作，則 ，延長(zhǎng)DP交AC于點(diǎn)G，由題意可得：△BED、△DFP、DGC、均為30°的直角三角形，由可得 ，由等邊三角形可得，故 由于 ，可得 故；

（2）由(1)得當(dāng)點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，；

①當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)部， 此時(shí)，同（1）中的思路；②當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P在三角形ABC一邊上，同(1)可知，，

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在三角形ABC外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)做，則 ， DP與AC交于點(diǎn)G. 由題意可得：△BED、△DFP、DGC、均為30°的直角三角形可得，由等邊三角形可得，故，

由DC=BC-BD=4-x可得 ，故；當(dāng)在的平分線上時(shí)，此時(shí)在三角形內(nèi)部 ，有 列出方程 求解即可；

解：(1)如下圖，過(guò)點(diǎn)作，則 ，延長(zhǎng)DP交AC于點(diǎn)G.

∵DE⊥BC，∠EDP=60°，

∴∠PDC=30°，

∵∠C=60°，

∴∠DGC=180°-∠PDC-∠C=90°，

∴，

∵ ，∠B=60°，∠BDE=90°，

∴，

∵ ，∠PDC=30°，PF⊥BC，

∴，

∵，

且∠C=60°，PG⊥AC，

∴，

∴；

(2)由(1)得當(dāng)點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，，

①當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)部，同(1)如下圖，

同(1)可證∠DGC=90°，

∴，

∵，∠B=60°，∠BDE=90°，

∴，

∵ ，∠PDC=30°，PF⊥BC，

∴，

∵DC=BC-BD=4-x，

且∠C=60°，PG⊥AC，

∴，

∴，

②當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P在三角形ABC一邊上，

同(1)可知，，

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在三角形ABC外部，

如下圖，過(guò)點(diǎn)做，則 ， DP與AC交于點(diǎn)G.

同(1)可證∠DGC=90°，

∴，

∵BD=x，∠B=60°，∠BDE=90°，

∴，

∵，∠PDC=30°，PF⊥BC，

∴，

∵DC=BC-BD=4-x，

且∠C=60°，PG⊥AC，

∴，

∴，

綜上所述，，

當(dāng)在的平分線上時(shí)，易知在三角形內(nèi)部 ，有，

即 ，

解得 x=1；