Question

【題目】如圖，直線y＝k1x（x≥0）與雙曲線y＝（x＞0）相交于點P（2，4）．已知點A（4，0），B（0，3），連接AB，將Rt△AOB沿OP方向平移，使點O移動到點P，得到△A'PB'．過點A'作A'C∥y軸交雙曲線于點C．

（1）求k1與k2的值；

（2）求直線PC的表達式；

（3）直接寫出線段AB掃過的面積．

Answer 1

【答案】(1)k1＝2，k2＝8；（2）y＝﹣x+；（3）22．

【解析】

（1）把點P（2，4）代入直線y=k1x，把點P（2，4）代入雙曲線y=，可得k1與k2的值；

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，求得C（6，），再運用待定系數(shù)法，即可得到直線PC的表達式；

（3）延長A'C交x軸于D，過B'作B'E⊥y軸于E，根據(jù)△AOB≌△A'PB'，可得線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積，據(jù)此可得線段AB掃過的面積．

（1）把點P（2，4）代入直線y＝k1x，可得4＝2k1，

∴k1＝2，

把點P（2，4）代入雙曲線y＝，可得k2＝2×4＝8；

（2）∵A（4，0），B（0，3），

∴AO＝4，BO＝3，

如圖，延長A'C交x軸于D，

由平移可得，A'P＝AO＝4，

又∵A'C∥y軸，P（2，4），

∴點C的橫坐標為2+4＝6，

當(dāng)x＝6時，y＝，即C（6，），

設(shè)直線PC的解析式為y＝kx+b，

把P（2，4），C（6，）代入可得，解得，

∴直線PC的表達式為y＝﹣x+；

（3）如圖，延長A'C交x軸于D，

由平移可得，A'P∥AO，

又∵A'C∥y軸，P（2，4），

∴點A'的縱坐標為4，即A'D＝4，

如圖，過B'作B'E⊥y軸于E，

∵PB'∥y軸，P（2，4），

∴點B'的橫坐標為2，即B'E＝2，

又∵△AOB≌△A'PB'，

∴線段AB掃過的面積＝平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積＝BO×B'E+AO×A'D＝3×2+4×4＝22．