Question

【題目】如圖①，已知拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，2）．點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑的圓交x軸于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，求CD的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的長度是否發(fā)生變化？若變化，求出CD關(guān)于點(diǎn)M橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式；若不發(fā)生變化，求出CD的長；

（3）當(dāng)△ACP與△ADP相似時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） CD=4；（2）不發(fā)生變化，CD=4；（3）點(diǎn)C坐標(biāo)為：（1,0），，

【解析】

（1）如圖，先利用勾股定理求MC的長和OC的長，再利用垂徑定理求得CD的長度；

（2）如圖所示，過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為H，連接AM、MC，由勾股定理可知，CH=2，結(jié)合垂徑定理可求得CD的長；

（3）分為點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，點(diǎn)M在點(diǎn)P的左側(cè)，點(diǎn)M在點(diǎn)P的右側(cè)三種情況畫出圖形，然后依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求得OC的長，從而可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（1）如圖：連結(jié)BC，BD，

由題意得：，（3，2），

∴，

∴，

∴CD=2OC=4；

（2）如圖：作MH⊥x軸，連結(jié)MA，MC，

設(shè)，則半徑，

∴=，

∵MH⊥CD，

∴CD=2CH=4，

（3）①當(dāng)△APC∽△APD，即全等時(shí)，

∴PC=PD，P與M重合，

∵P（3，0），CD=4，

∴C（1，0）

②如圖，點(diǎn)M在點(diǎn)P的左側(cè)，

△APC∽△DPA，，

設(shè)PC=x，x（x-4）=4，解得（舍去負(fù)值），

∴，

③如圖，點(diǎn)M在點(diǎn)P的右側(cè)

△APC∽△DPA，，

設(shè)PC=x，x（x+4）=4，解得（舍去負(fù)值），

∴，

綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為：C（1，0）；；；