Question

【題目】閱讀下列內(nèi)容，并解決問題．

一道習(xí)題引發(fā)的思考

小明在學(xué)習(xí)《勾股定理》一章內(nèi)容時，遇到了一個習(xí)題，并對有關(guān)內(nèi)容進行了研究；

習(xí)題再現(xiàn)：

古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果表示大于1的整數(shù)，，，，那么，，為勾股數(shù).你認為對嗎？如果對，你能利用這個結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎？

資料搜集：

定義：勾股數(shù)是指可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù).一般地，若三角形三邊長，，都是正整數(shù)，且滿足，那么，，稱為一組勾股數(shù)．

關(guān)于勾股數(shù)的研究：我囯西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了“勾三，股四，弦五”，這組數(shù)是世界上最早發(fā)現(xiàn)的一組勾股效，畢達哥拉斯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、我國數(shù)學(xué)家劉徽、古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖都進行過勾股數(shù)的研究．習(xí)題中的表達式是柏拉圖給出的勾股數(shù)公式，這個表達式未給出全部勾股數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是《九幸算術(shù)），其勾股數(shù)公式為：，，，其中，，是互質(zhì)的奇數(shù)．（注：，，的相同倍數(shù)組成的一組數(shù)也是勾股數(shù)）

問題解答：

（1）根據(jù)柏拉圖的研究，當時，請直接寫出一組勾股數(shù)；

（2）若表示大于1的整數(shù)，試證明是一組勾股數(shù)；

（3）請舉出一個反例（即寫出一組勾股數(shù)），說明柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出所有的勾股數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）(12，35，37)；（2）見解析；（3）反例：(5，12，13)

【解析】

(1)把直接代入，，即可求解；

(2)利用勾股定理的逆定理即可證明結(jié)論；

(3)柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出5、12、13這組勾股數(shù)．

(1)把直接代入，，得

，，，

故答案為：(12，35，37)；

(2)∵表示大于1的整數(shù)，
∴，，都是正整數(shù)，且是最大邊，

∵

，

∴，

即，，為勾股數(shù)；

(3)當時，勾股數(shù)為(3，4，5)；

當時，勾股數(shù)為(8，6，10)；

當時，勾股數(shù)為(15，8，17)；

(5，12，13)是勾股數(shù)，而柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出．