Question

【題目】如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線為的直徑，過點作交的延長線于點,為的中點，連結(jié)，.

（1）求的度數(shù).

（2）求證：是的切線.

（3）若時，求的值.

Answer 1

【答案】(1)90°；(2)證明見解析；(3).

【解析】

（1）AC是直徑，所以∠ADC=90°，所以∠CDE=90°；

（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAO=∠ADO ，然后根據(jù)直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)得到∠DEF=∠EDF，再根據(jù)∠DAO +∠DEF=90°，之后等量替換得到∠ODF=90°，從而證明DF是⊙O的切線；

（3）先證明△ADC∽△ACE，然后根據(jù)tan∠ABD=3可得tan∠ACD=3，設(shè)AD=3x，則CD=x，AC=x，用相似三角形的性質(zhì)可求出DE=x，再求即可.

解：（1）因為∠ADC是直徑AC對應的圓周角，所以∠ADC=90°，所以∠CDE=90°.

（2）如圖所示，連接OD,

因為OA=OD，所以△DAO是等腰三角形，則∠DAO=∠ADO，

由（1）得∠CDE=90°，所以△CDE是直角三角形,

又因為F是Rt△CDE斜邊CE的中點，所以，

所以△DEF是等腰三角形，故∠DEF=∠EDF，

因為CE⊥AC，所以△ACE是直角三角形,

根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，所以在Rt△ACE中∠DAO +∠DEF=90°，

因為∠DAO=∠ADO ，∠DEF=∠EDF ，

所以∠ODF=180°-（∠ADO+∠EDF）=180°-（∠DAO +∠DEF）=90°，

所以DF⊥OD，故DF是⊙O的切線；

（3）在△ADC和△ACE中，，

所以△ADC∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得，

因為tan∠ABD=3，所以tan∠ACD=3,

設(shè)AD=3x，則CD=x，∴AC=x，

所以，所以AE=x，DE=x,

所以.