Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；

（3）當(dāng)矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點(diǎn)P，使的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）最大值為10

（3）故點(diǎn)P坐標(biāo)為：或或．

【解析】

（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）矩形MNHG的周長，即可求解；

（3），解得：，即可求解．

（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，

故函數(shù)表達(dá)式為：…①；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，

則，，

矩形MNHG的周長，

∵，故當(dāng)，C有最大值，最大值為10，

此時，點(diǎn)與點(diǎn)D重合；

（3）的面積是矩形MNHG面積的，

則，

連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，

過點(diǎn)P作y軸的平行線交CD、直線n于點(diǎn)H、G，即，

過點(diǎn)P作于點(diǎn)K，

將、坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線CD的表達(dá)式為：，

，∴，，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

，

解得：，

則，

解得：，

故點(diǎn)，

直線n的表達(dá)式為：…②，

聯(lián)立①②并解得：，

即點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、；

故點(diǎn)P坐標(biāo)為：或或．