Question

【題目】已知拋物線(xiàn)與軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B左邊)，與軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為P，OC=2AO.

(1)求與滿(mǎn)足的關(guān)系式；

(2)直線(xiàn)AD//BC，與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)D，△ADP的面積為，求的值；

(3)在(2)的條件下，過(guò)(1，-1)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)，分別過(guò)M、N且與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)交于點(diǎn)G，求OG長(zhǎng)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）將拋物線(xiàn)解析式進(jìn)行因式分解，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，得到OA長(zhǎng)度，再由C點(diǎn)坐標(biāo)得到OC長(zhǎng)度，然后利用OC=2AO建立等量關(guān)系即可得到關(guān)系式；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的k，根據(jù)平行可知AD直線(xiàn)的斜率k與BC相等，可求出直線(xiàn)AD解析式，與拋物線(xiàn)聯(lián)立可求D點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)P作PE⊥x軸交AD于點(diǎn)E，求出PE即可表示△ADP的面積，從而建立方程求解；

（3）為方便書(shū)寫(xiě)，可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：，設(shè)，，過(guò)點(diǎn)M的切線(xiàn)解析式為，兩拋物線(xiàn)與切線(xiàn)聯(lián)立，由可求k，得到M、N的坐標(biāo)滿(mǎn)足，將（1，-1）代入，推出G為直線(xiàn)上的一點(diǎn)，由垂線(xiàn)段最短，求出OG垂直于直線(xiàn)時(shí)的值即為最小值.

解：（1）

令y=0，，解得，

令x=0，則

∵， A在B左邊

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4am2）

∴AO=m，OC=4am2

∵OC=2AO

∴4am2=2m

∴

（2）∵

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2m）

設(shè)BC直線(xiàn)為，代入B（4m，0），C（0，-2m）得

，解得

∵AD∥BC，

∴設(shè)直線(xiàn)AD為，代入A（-m，0）得，，

∴

∴直線(xiàn)AD為

直線(xiàn)AD與拋物線(xiàn)聯(lián)立得，

，解得或

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（5m，3m）

又∵

∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)為

如圖，過(guò)P作PE⊥x軸交AD于點(diǎn)E，則E點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入直線(xiàn)AD得

∴PE=

∴S△ADP=

解得

∵m＞0

∴

∴.

（3）在（2）的條件下，可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：，

設(shè)，，過(guò)點(diǎn)M的切線(xiàn)解析式為，

將拋物線(xiàn)與切線(xiàn)解析式聯(lián)立得：

，整理得，

∵，

∴方程可整理為

∵只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴

整理得即

解得

∴過(guò)M的切線(xiàn)為

同理可得過(guò)N的切線(xiàn)為

由此可知M、N的坐標(biāo)滿(mǎn)足

將代入整理得

將（1，-1）代入得

在（2）的條件下，拋物線(xiàn)解析式為，即

∴

整理得

∴G點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足，即G為直線(xiàn)上的一點(diǎn)，

當(dāng)OG垂直于直線(xiàn)時(shí)，OG最小，如圖所示，

直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)H（5,0），與y軸交點(diǎn)F（0，）

∴OH=5，OF=，FH=

∵

∴

∴OG的最小值為.