Question

【題目】定義：若拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小相同，方向相反，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，我們稱(chēng)拋物線(xiàn)為的“友好拋物線(xiàn)”．

（1）若的表達(dá)式為，求的“友好拋物線(xiàn)”的表達(dá)式；

（2）已知拋物線(xiàn)為的“友好拋物線(xiàn)”．求證：拋物線(xiàn)也是的“友好拋物線(xiàn)”；

（3）平面上有點(diǎn)，，拋物線(xiàn)為的“友好拋物線(xiàn)”，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，當(dāng)拋物線(xiàn)與線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的“友好拋物線(xiàn)”為：；（2）見(jiàn)解析；（3）或.

【解析】

（1）設(shè)的“友好拋物線(xiàn)”的表達(dá)式為：，根據(jù)可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得的值，進(jìn)而得出的“友好拋物線(xiàn)”；

（2）先求出拋物線(xiàn)和的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)過(guò)的頂點(diǎn)，得出，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，再根據(jù)與的開(kāi)口大小相同，方向相反，即可得出拋物線(xiàn)也是的“友好拋物線(xiàn)”；

（3）根據(jù)“友好拋物線(xiàn)”的定義，得到，進(jìn)而得到的頂點(diǎn)為．

根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，可得．

再根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到．根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到．

進(jìn)而得出拋物線(xiàn)與線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍．

解：（1）依題意，可設(shè)的“友好拋物線(xiàn)”的表達(dá)式為：，

∵，

∴的頂點(diǎn)為．

∵過(guò)點(diǎn)，

∴，即．

∴的“友好拋物線(xiàn)”為：．

（2）的頂點(diǎn)為，

的頂點(diǎn)為，

∵為的“友好拋物線(xiàn)”，

∴．

∵過(guò)的頂點(diǎn)，

∴．

化簡(jiǎn)得：．

把代入，得

．

∴拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)．

又∵與的開(kāi)口大小相同，方向相反，

∴拋物線(xiàn)也是的“友好拋物線(xiàn)”．

（3）∵拋物線(xiàn)為的“友好拋物線(xiàn)”，

∴．

∴的頂點(diǎn)為．

∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，

∴，即．

當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，

∴．

當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，

∴．

由此可知：時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，

∴拋物線(xiàn)與線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，或．