Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸，y軸分別相交于M（4，0），N（0，3）兩點(diǎn)．已知拋物線開(kāi)口向上，與⊙C交于N，H，P三點(diǎn)，P為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且垂直x軸于點(diǎn)D．

（1）求線段CD的長(zhǎng)及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）設(shè)拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S四邊形OPMN=8S△QAB ， 且△QAB∽△OBN成立？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，連接OC，

∵M(jìn)（4，0），N（0，3），

∴OM=4，ON=3，

∴MN=5，

∴OC= MN= ，

∵CD為拋物線對(duì)稱軸，

∴OD=MD=2，

在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD= = = ，

∴PD=PC﹣CD= ﹣ =1，

∴P（2，﹣1）；

（2）

解：∵拋物線的頂點(diǎn)為P（2，﹣1），

∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x﹣2）2﹣1，

∵拋物線過(guò)N（0，3），

∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3

（3）

解：在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴AB=3﹣1=2，

∵ON=3，OM=4，PD=1，

∴S四邊形OPMN=S△OMP+S△OMN= OMPD+ OMON= ×4×1+ ×4×3=8=8S△QAB，

∴S△QAB=1，

設(shè)Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，則 ×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，

當(dāng)y=1時(shí)，則△QAB為鈍角三角形，而△OBN為直角三角形，不合題意，舍去，

當(dāng)y=﹣1時(shí)，可知P點(diǎn)即為所求的Q點(diǎn)，

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD=QD，

∴△QAB為等腰直角三角形，

∵ON=OB=3，

∴△OBN為等腰直角三角形，

∴△QAB∽△OBN，

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（2，﹣1）

【解析】（1）連接OC，由勾股定理可求得MN的長(zhǎng)，則可求得OC的長(zhǎng)，由垂徑定理可求得OD的長(zhǎng)，在Rt△OCD中，可求得CD的長(zhǎng)，則可求得PD的長(zhǎng)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）可設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，再把N點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式；（3）由拋物線解析式可求得A、B的坐標(biāo)，由S四邊形OPMN=8S△QAB可求得點(diǎn)Q到x軸的距離，且點(diǎn)Q只能在x軸的下方，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明△QAB∽△OBN即可．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．