Question

【題目】已知拋物線與x軸交于不同的兩點(diǎn)和，與y軸交于點(diǎn)C，且是方程的兩個(gè)根（）．

【1】求拋物線的解析式；

【2】過(guò)點(diǎn)A作AD∥CB交拋物線于點(diǎn)D，求四邊形ACBD的面積；

【3】如果P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線l交BC于點(diǎn)Q，那么在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】

【1】解方程，得．

∴點(diǎn)，點(diǎn)．

∴

解，得

∴拋物線的解析式為．

【2】∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．

又點(diǎn)，可求直線BC的解析式為．

∵AD∥CB，∴設(shè)直線AD的解析式為．

又點(diǎn)，∴，直線AD的解析式為．

解，得，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，）．

過(guò)點(diǎn)D作DD’軸于D’， DD’＝，則又AB＝4．

∴四邊形ACBD的面積＝ABOC+ABDD’＝

【3假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R，設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)E（0，m），

∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，∴0< m <2，∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴可求直線AC的解析式為，∴點(diǎn)．

∵直線BC的解析式為，∴點(diǎn)．

∴．在△PQR中，

①當(dāng)RQ為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PR1⊥x軸于點(diǎn)R1，則∠R1PQ＝90°，PQ＝PR1＝m．

∴，解得，∴點(diǎn)，

∴點(diǎn)R1坐標(biāo)為（，0）．

②當(dāng)RP為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作Q R2⊥x軸于點(diǎn)R2，

同理可求，點(diǎn)R2坐標(biāo)為（1，0）．

③當(dāng)PQ為底時(shí)，取PQ中點(diǎn)S，過(guò)S作SR3⊥PQ交x軸于點(diǎn)R3，則PR3＝QR3，∠PR3Q＝90°．∴PQ＝2R3S＝2m．∴，解，得，

∴點(diǎn)，點(diǎn)，可求點(diǎn)R3坐標(biāo)為（，0）．

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)R1，點(diǎn)R2，點(diǎn)R3都滿足條件．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)R，它們分別是R1（，0），R2（1，0）和點(diǎn)R3（，0）．

【解析】略