Question

【題目】（2017遼寧省葫蘆島市）如圖，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，點(diǎn)B是射線(xiàn)AP上一定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線(xiàn)AN上運(yùn)動(dòng)，連接BC，將∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的兩邊射線(xiàn)BC和BA分別繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線(xiàn)AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在射線(xiàn)AN上時(shí)，①請(qǐng)判斷線(xiàn)段BC與BD的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論；

②請(qǐng)?zhí)骄烤�(xiàn)段AC，AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論并證明；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在射線(xiàn)AN的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，BC交射線(xiàn)AM于點(diǎn)F，若AB=4，AC=，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AD和DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①BC=BD；②AD+AC=BE；（2）AD=，DF=．

【解析】試題（1）①結(jié)論：BC=BD．只要證明△BGD≌△BHC即可．②結(jié)論：AD+AC=BE．只要證明AD+AC=2AG=2EG，再證明EB=BE即可解決問(wèn)題；

（2）如圖2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH，AH，BC，CH， AD的長(zhǎng)，由sin∠ACH=，推出AK的長(zhǎng)，設(shè)FG=y，則AF=﹣y，BF=，由△AFK∽△BFG，可得，可得關(guān)于y的方程，求出y即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）①結(jié)論：BC=BD，

理由：如圖1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，

∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；

②結(jié)論：AD+AC=BE，

∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BEcos30°=BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG=BE，∴AD+AC=BE；

（2）如圖2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，

由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，

易知BH=GB=2，AH=AG=EG=，BC=BD= =，CH=DG=，

∴AD=，∵sin∠ACH=，∴，∴AK=，

設(shè)FG=y，則AF=﹣y，BF=，

∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，

∴△AFK∽△BFG，∴，∴，解得y=或（舍棄），

∴DF=GF+DG=，即DF=．