Question

【題目】如圖，經(jīng)過點A（0，﹣4）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于B（﹣2，0），C兩點，O為坐標原點；

（1）求拋物線的解析式并用配方法求頂點M的坐標；

（2）若拋物線上有一點P，使∠PCB=∠ABC，求P點坐標；

（3）將拋物線y=x2+bx+c向上平移個單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點M在△ABC內，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4，（1，﹣）；（2）（2，﹣4）或（﹣6，20）；（3）0＜m＜。

【解析】試題分析：（1）只需運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式，然后用配方法就可求出頂點M的坐標；

（2）可分點P在x軸的下方和上方兩種情況討論，當點P在x軸下方時，根據(jù)拋物線的軸對稱性得到點P的坐標；當點P在x軸上方時，直線PC與直線AB平行，可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后再根據(jù)兩平行直線一次項的系數(shù)相同，求出直線PC的解析式，然后只需求出直線PC與拋物線的交點坐標，就可解決問題；

（3）根據(jù)條件可得新拋物線的頂點M坐標為（1﹣m，﹣1），故點M始終在直線y=﹣1上．設直線y=﹣1與直線AB交于點P，與直線AC交于點Q，由點M在△ABC內可得點M在線段PQ上（不包括端點P、Q），只需求出點P、Q的坐標，就可解決問題．

試題解析：解：（1）∵點A（0，﹣4）、B（﹣2，0）在拋物線y=x2+bx+c上，∴，解得： ，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4．

∵y=x2﹣x﹣4=（x2﹣2x+1﹣1）﹣4=（x﹣1）2﹣，∴拋物線的頂點M的坐標為（1，﹣）；

（2）①點P在x軸的下方，如圖1，

∵∠PCB=∠ABC，點B與點C關于對稱軸x=1對稱，∴點A（0，﹣4）與點P也關于對稱軸x=1對稱，∴點P的坐標為（2，﹣4）；

②點P在x軸的上方，直線PC記為直線l，如圖2，

令y=0，得（x﹣1）2﹣=0，解得：x1=﹣2，x2=4，∴點C的坐標為（4，0）．

設直線AB的解析式為y=kx+t，則有，解得： ，∴直線AB的解析式為y=﹣2x﹣4．

∵∠PCB=∠ABC，∴直線AB∥直線l，∴直線l可設為y=﹣2x+n．∵點C（4，0）在直線y=﹣2x+n上，∴﹣8+n=0，∴n=8，∴直線l的解析式為y=﹣2x+8，解方程組，得或，∴點P的坐標為（﹣6，20）．

綜上所述：點P的坐標為（2，﹣4）或（﹣6，20）；

（3）m的取值范圍為0＜m＜．

解題過程如下：

由題可得新拋物線頂點M的坐標為（1﹣m，﹣+）即（1﹣m，﹣1）．

設直線AC的解析式為y=px+q，則有，解得： ，∴直線AC的解析式為y=x﹣4．

設直線y=﹣1與直線AB交于點P，與直線AC交于點Q，如圖3，

由﹣2x﹣4=﹣1，得：x=﹣，則點P的坐標為（﹣，﹣1）；

由x﹣4=﹣1，得：x=3，則點P的坐標為（3，﹣1）．

∵新拋物線的頂點M（1﹣m，﹣1）在△ABC內，∴點M在線段PQ上（不包括端點P、Q），∴，解得：﹣2＜m＜．

∵m＞0，∴m的取值范圍為0＜＜m＜．