Question

如圖（1），AB、BC、CD分別與⊙O相切于點E、F、G，且AB∥CD，若，

小題1:求BC和OF的長；
小題2:求證：三點共線；
小題3:小葉從第（1）小題的計算中發(fā)現(xiàn)：等式成立，于是她得到這樣的結論：如圖（2），在中，，，垂足為，設，，則有等式成立．請你判斷小葉的結論是否正確，若正確，請給予證明，若不正確，請說明理由.  

Answer 1

小題1:BC=10，OF=4.8。
小題2:見解析
小題3:見解析

（1）解：（第1小問共6分，若有其他方法，請酌情給分）
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°---------------1分
又∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于點E，F(xiàn)，G
∴BO，CO分別平分∠ABC，∠BCD---------------2分
∴∠OBC+∠OCB=90°---------------3分
又∵在Rt△ABC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8
∴---------------4分
∴---------------5分
即：10×OF=6×8
∴OF=4.8---------------6分
（2）（第2小問共4分）
證法一：連接OE，OG---------------1分
∵BO分別平分∠ABC

∴∠EBO=∠FBO
又∵AB，BC分別與⊙O相切于點E，F(xiàn)
∴∠BEO=∠BFO=90°
∴∠BOE=∠BOF---------------2分
同理：∠COG=∠COF
∵∠OBC+∠OCB=90°--------------3分
∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°---------------4分
∴三點共線
證法二：連接OE，OG---------------1分
∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于點E，F(xiàn)，G
∴∠BFO=∠BEO=∠OGC=90°
∴在四邊形OEBF中，∠EBF+∠EOF=180°---------------2分
同理：∠GCF+∠GOF=180°
∴∠EBF+∠EOF+∠GCF+∠GOF=360°
又∵AB∥CD
∴∠EBF+∠GCF=180°---------------3分
∴∠EOF+∠GOF=180°
即：三點共線---------------4分
（3）（第3小問共4分，若有其他方法，請酌情給分）
等式成立．理由如下：---------------1分
證法一：∵， ，∠A為公共角
∴△ACD∽△ABC

∴     ---------------2分
∴     
∴                                 
同理，
   ---------------3分
∴
∴          ---------------4分
證法二：tan∠CAB=---------------2分
∴---------------3分
∴   ∴
∴     ---------------4分                                            
證法三∵
∴    ---------------2分
∴，   ∴
∴---------------3分
∴
∴
∴
∴