Question

【題目】如圖，C為線(xiàn)段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正確；

②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正確；

③根據(jù)②△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，可知③正確；

④根據(jù)∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④錯(cuò)誤；

⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性質(zhì)可得∠AOE=120°，可知⑤正確；

①∵△ABC和△CDE為等邊三角形

∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°

∴∠ACD＝∠BCE

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD＝BE，故①正確；

由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°

∴△CQB≌△CPA（ASA），

∴AP＝BQ，故②正確；

∵△CQB≌△CPA，

∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°

∴△PCQ為等邊三角形，

∴∠PQC＝∠DCE＝60°，

∴PQ∥AE，故③正確，

∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，

∴PD≠CD，

∴DE≠DP，故④DE＝DP錯(cuò)誤；

∵BC∥DE，

∴∠CBE＝∠BED，

∵∠CBE＝∠DAE，

∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，

∴∠AOE＝120°，故⑤正確，

故選C．