Question

【題目】如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形和擺放在一起，為公共頂點(diǎn)，，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若固定不動(dòng)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，、與邊的交點(diǎn)分別為、（點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），設(shè)，．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D（1）中找出兩對(duì)相似但不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明．

（2）求與a的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量a的取值范圍．

（3）以的斜邊所在的直線為軸，邊上的高所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖（2），若，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，猜想線段、和之間的關(guān)系，并通過計(jì)算加以驗(yàn)證．

Answer 1

【答案】（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA，證明見解析；（2）b=，1＜a＜2；（3）G（1－，0）；BG2+CF2=FG2．

【解析】

(1)找到有公共角的和45°角的兩個(gè)三角形即可；

(2)證明△ACG∽△FBA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得與a的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)a為2，點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)a為1，可得a的取值范圍

(3)先求得a=b=，可求點(diǎn)G（1－，0）；根據(jù)BG=OB﹣OG，求得FG=BC﹣2BG=2－2，即可得到線段、和之間的關(guān)系.

（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA．

∵∠GAF=∠C=45°，

∠AGF=∠AGC，

∴△ACG∽△FAG．類似證明△FAG∽△FBA；

（2）∵∠CAG=∠CAF+45°，∠BFA=∠CAF+45°，

∴∠CAG=∠BFA．

∵∠B=∠C=45°，

∴△ACG∽△FBA，

∴ =．

由題意可得CA=BA=．

∴=．∴b=．

自變量a的取值范圍為1＜a＜2．

（3）由BG=CF可得BF=CG，即a=b．

∵b=，

∴a=b=．

∵OB=OC=BC=1，

∴OF=OG=﹣1．

∴G（1－，0）．

線段BG、FG和CF之間的關(guān)系為BG2+CF2=FG2；

∵BG=OB﹣OG=1－(－1)=2－=CF，

FG=BC﹣2BG= 2－2(2－)=2－2．

∵BG2+CF2=2(2－)2=12－8，FG2=(2－2)2=12－8．

∴BG2+CF2=FG2 ．