Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，以B為圓心，AB為半徑作，在扇形BAC內(nèi)作⊙O與AB、BC、都相切，則⊙O的周長(zhǎng)等于（　�。�

A. B. C. D. π

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接OB并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)E，設(shè)AB與圓的切點(diǎn)為D，連接OD，由三角形ABC為等邊三角形得到BA＝BC，且∠ABC＝60°，再由以B為圓心，AB為半徑作，得到BE＝BA＝BC＝2，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到∠ABE＝30°，由AB與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AB，在直角三角形BOD中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到OD等于OB的一半，設(shè)OD＝OE＝x，可得出OB＝2x，由BO+OE＝BE＝2，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓O的半徑，即可求出圓O的周長(zhǎng)．

解：連接OB并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)E，設(shè)AB與圓的切點(diǎn)為D，連接OD，

∵△ABC為等邊三角形，以B為圓心，AB為半徑作，

∴∠ABC＝60°，BA＝BC＝BE＝2，

由對(duì)稱(chēng)性得到：∠ABE＝30°，

∵AB為⊙O的切線，

∴OD⊥AB，

在Rt△BOD中，∠ABE＝30°，設(shè)OD＝OE＝x，

可得OB＝2x，

∴OB+OE＝BE，

即2x+x＝2，

解得：x＝，

即⊙O的半徑為，

∴⊙O的周長(zhǎng)為：＝π．

故選：C．