【題目】如圖1,在三角形中,,和關(guān)于對稱
(1)將圖1中的以為旋轉(zhuǎn)中心,逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,使,得到如圖2所示的,分別延長和交于點(diǎn),則四邊形的形狀是 ;
(2)將圖1中的以為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,使,得到如圖3所示的,連接和,得到四邊形,請判斷四邊形的形狀,并說明理由;
(3)如圖3中,,將沿著射線方向平移,得到,連接,使四邊形恰好為正方形,請直接寫出a的值.
【答案】(1)菱形;(2)四邊形BCC′D是矩形,理由見解析;(3)a的值為或.
【解析】
(1)由對稱的性質(zhì)結(jié)合題意得出DC=BC=DA=AB,∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠CAC′=∠BAC=∠AC′D=∠BCA,證出AC∥DE,AC′∥BE,得出四邊形ACEC′是平行四邊形,由旋轉(zhuǎn)可得:AC=AC′,即可得出四邊形ACEC′是菱形;
(2)過點(diǎn)A作AE⊥C′C于點(diǎn)E,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得AC′=AC,得出∠CAE=∠C′AE= α=∠BAC,∠AEC′=90°,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BCA=∠BAC,進(jìn)而得出∠CAE=∠BCA,證出AE∥BC.同理,AE∥DC′,得出BC∥DC′,證出四邊形BCC′D是平行四邊形,求出∠BCC'=90°,即可得出四邊形BCC′D是矩形;
(3)過點(diǎn)B作BF⊥AC于F,證明△ACE∽△CBF,得出,求出CE=,由等腰三角形的性質(zhì)得出CC′=2CE=,當(dāng)四邊形BCC′'D′恰好為正方形時,分兩種情況:①C′'在邊CC′上時,a=CC′CC';②當(dāng)點(diǎn)C′'在C′C的延長線上時,a=CC′+CC'.
解:(1)∵△ADC和△ABC關(guān)于AC對稱,
∴DC=BC,DA=AB,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,
∵BA=BC,
∴DC=BC=DA=AB,∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA,
∵△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α,使α=∠BAC,得到△AC′D,
∴∠CAC′=∠BAC=∠AC′D=∠BCA,
∴AC∥DE,AC′∥BE,
∴四邊形ACEC′是平行四邊形,
由旋轉(zhuǎn)可得:AC=AC′,
∴四邊形ACEC′是菱形,
故答案為:菱形;
(2)四邊形BCC′D是矩形;
理由:過點(diǎn)A作AE⊥C′C于點(diǎn)E,如圖3所示:
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得AC′=AC,
∴∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC,∠AEC′=90°,
∵BA=BC,
∴∠BCA=∠BAC,
∴∠CAE=∠BCA,
∴AE∥BC,
同理,AE∥DC′,
∴BC∥DC′,
∵BC=DC′,
∴四邊形BCC′D是平行四邊形,
∵AE∥BC,∠AEC′=90°,
∴∠BCC′=90°,
∴四邊形BCC′D是矩形;
(3)過點(diǎn)B作BF⊥AC于F,
∵BA=BC,
∴CF=AF
在Rt△BCF中,BF=,
∵∠CAE=∠BCF,∠CEA=∠BFC=90°,
∴△ACE∽△CBF,
∴,即,
解得:CE=,
∵AC=AC′,AE⊥CC′,
∴CC′=2CE=,
當(dāng)四邊形BCC′'D′恰好為正方形時,CC'=BC=,
分兩種情況:①C′'在邊CC′上時,如圖4所示:
則a=CC′CC'=;
②當(dāng)點(diǎn)C′'在C′C的延長線上時,如圖5所示:
則a=CC′+CC'=;
綜上所述,a的值為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,BE是⊙O的直徑,連接BF,延長BA,過F作FG⊥BA,垂足為G.
(1)求證:FG是⊙O的切線;
(2)已知FG=2,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】已知,AB為⊙O的直徑,C,D為⊙O上兩點(diǎn),過點(diǎn)D的直線EF與⊙O相切,分別交BA,BC的延長線于點(diǎn)E,F,BF⊥EF
(I)如圖①,若∠ABC=50°,求∠DBC的大小;
(Ⅱ)如圖②,若BC=2,AB=4,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 已知關(guān)于的方程,有兩個實(shí)數(shù)根,.
(1)求的取值范圍;
(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根,滿足,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年是中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年,9月3日全國各地將舉行有關(guān)紀(jì)念活動.為了解初中學(xué)生對二戰(zhàn)歷史的知曉情況,某初中課外興趣小組在本校學(xué)生中開展了專題調(diào)查活動,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,根據(jù)學(xué)生的答題情況,將結(jié)果分為、、、四類,其中類表示“非常了解”,類表示“比較了解”,類表示“基本了解”;類表示“不太了解”,調(diào)查的數(shù)據(jù)經(jīng)整理后形成尚未完成的條形統(tǒng)計圖(如圖①)和扇形統(tǒng)計圖(如圖②):
(1)在這次抽樣調(diào)查中,一共抽查了 名學(xué)生;
(2)請把圖①中的條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)圖②的扇形統(tǒng)計圖中類部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 ;
(4)如果這所學(xué)校共有初中學(xué)生1500名,請你估算該校初中學(xué)生中對二戰(zhàn)歷史“非常了解”和“比較了解”的學(xué)生共有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是對角線BD上一點(diǎn),連接AE,將DE繞D點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到DF,連接BF,交DC于點(diǎn)G,若DG=3,CG=2,則線段AE的長為__.
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【題目】為迎接”抗戰(zhàn)勝利70周年紀(jì)念展”,中國國家博物館進(jìn)行了合并改擴(kuò)建工程.新館的展廳總面積與原館大樓的總建筑面積相同,成為目前世界上最大的博物館.已知原館大樓的總建筑面積比原館大樓的展覽面積的3倍少0.4萬平方米,新館的展廳總面積比原館大樓的展覽面積大4.2萬平方米,求新館的展廳總面積和原館大樓的展覽面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c(b,c為常數(shù))與x軸交于點(diǎn)(x1,0)和(x2,0),與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)E為拋物線頂點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)x1=﹣1,x2=3時,求點(diǎn)E,點(diǎn)A的坐標(biāo);
(Ⅱ)①若頂點(diǎn)E在直線y=x上時,用含有b的代數(shù)式表示c;
②在①的前提下,當(dāng)點(diǎn)A的位置最高時,求拋物線的解析式;
(Ⅲ)若x1=﹣1,b>0,當(dāng)P(1,0)滿足PA+PE值最小時,求b的值.
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【題目】如圖1,線段AB及一定點(diǎn)C、P是線段AB上一動點(diǎn),作直線CP,過點(diǎn)A作AQ⊥CP于點(diǎn)Q,已知AB=7cm,設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為xcm,A、Q兩點(diǎn)間的距離為y1cm,P、Q兩點(diǎn)間的距離為y2cm.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),分別對函數(shù)y1、y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面是小明的探究過程,請補(bǔ)充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量,分別得到了y1、y2與x的幾組對應(yīng)值.
x/cm | 0 | 0.3 | 0.5 | 0.8 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y1/cm | 0 | 0.28 | 0.49 | 0.79 | 1 | 1.48 | 1.87 | 2.37 | 2.61 | 2.72 | 2.76 | 2.78 |
y2/cm | 0 | 0.08 | 0.09 | 0.06 | 0 | 0.29 | 0.73 | 1.82 |
| 4.20 | 5.33 | 6.41 |
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)(x,y1),(x,y2),并畫出函數(shù)y1,y2的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問題:當(dāng)△APQ中有一個角為30°時,AP的長度約為 cm.
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