Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點(diǎn)，直線AD與經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn)，與其對(duì)稱軸交于M，點(diǎn)P為線段FG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與F、G不重合），PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q．

（1）求經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）判斷△BDC的形狀，并給出證明；當(dāng)P在什么位置時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若拋物線的頂點(diǎn)為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）△BDC是直角三角形，證明見解析；△POC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是（﹣1+，1+）或（2，4）；（3）①不能成為菱形，理由見解析；②能成為等腰梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2.5，4.5）．

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法列方程組求二次函數(shù)的解析式.(2)利用勾股定理的逆定理，判斷直角三角形.(3)分別設(shè)出P，Q點(diǎn)坐標(biāo)，按照菱形的條件，等腰梯形的條件，分別求P點(diǎn)坐標(biāo)，判斷是否存在.

（1）B（﹣1，0）E（0，4）C（4，0）設(shè)解析式是y=ax2+bx+c，

可得,

解得,

∴y=﹣x2+3x+4；

（2）△BDC是直角三角形，

∵BD2=BO2+DO2=5，DC2=DO2+CO2=20，BC2=（BO+CO）2=25

∴BD2+DC2=BC2，

∴△BDC是直角三角形．

點(diǎn)A坐標(biāo)是（﹣2，0），點(diǎn)D坐標(biāo)是（0，2），

設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，則,

解得：,

則直線AD的解析式是y=x+2，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（x，x+2）

當(dāng)OP=OC時(shí)x2+（x+2）2=16，

解得：x=﹣1±（x=﹣1-（不符合，舍去）此時(shí)點(diǎn)P（﹣1+，1+）

當(dāng)PC=OC時(shí)（x+2）2+（4﹣x）2=16，方程無解；

當(dāng)PO=PC時(shí)，點(diǎn)P在OC的中垂線上，

∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)是2，得點(diǎn)P坐標(biāo)是（2，4）；

∴當(dāng)△POC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是（﹣1+，1+）或（2，4）；

（3）點(diǎn)M坐標(biāo)是（,），點(diǎn)N坐標(biāo)是（,），∴MN=，

設(shè)點(diǎn)P為（x，x+2），Q（x，﹣x2+3x+4），則PQ=﹣x2+2x+2

①若PQNM是菱形，則PQ=MN，可得x1=0.5，x2=1.5

當(dāng)x2=1.5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合；當(dāng)x1=0.5時(shí)，可求得PM=所以菱形不存在．

②能成為等腰梯形，作QH⊥MN于點(diǎn)H，作PJ⊥MN于點(diǎn)J，則NH=MJ，

則﹣（﹣x2+3x+4）=x+2﹣，

解得：x=2.5，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2.5，4.5）．