Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，BA＝BC，AO⊥BC于點(diǎn)O，AO＝3CO＝6．F是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F作FE∥BC交AC邊于點(diǎn)E，交AO于點(diǎn)G，連結(jié)FO，EO，設(shè)EF長(zhǎng)為x，△EFO的面積為S．

(1)求OB的長(zhǎng)；

(2)求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和x的取值范圍；

(3)判斷：當(dāng)△EFO的面積最大時(shí)，△EFO和△CBA是否相似并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)8;(2) (0＜x＜10) ;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由AO=3CO=6易得CO=2，結(jié)合AB=BC可得AB=BC=BO+2，這樣在Rt△ABO中由AB2=AO2+BO2可得（2+OB）2=62+OB2，由此即可解得OB的值；

（2）由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，由此可得，結(jié)合AG=AO-GO，EF=x及（1）中所得結(jié)論即可用含x的式子表達(dá)GO的長(zhǎng)，再利用S△OEF=EF·GO即可求得所求函數(shù)關(guān)系式了；

（3）由（2）中所得解析配方可求得當(dāng)△OEF面積最大時(shí)，EF=5，由此可知此時(shí)EF：BC=1：2，由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，從而可得，由此可得點(diǎn)E、F是AC、AB的中點(diǎn)，結(jié)合AO⊥BC可得OF=AB，OE=AC，從而可得，由此即可得到△EFO∽△CBA.

(1)∵AO＝3CO＝6，

∴CO＝2，

∴AB =BC= BO+2，

∵AO⊥BC，

∴AB2＝AO2＋OB2，

∴(2＋OB)2＝36＋OB2，

解得OB＝8；

(2) 由(1)得BC=OB+2=10，

∵FE∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

∴，即 ，

解得：OG=，

∴S＝EF×OG＝，

即(0＜x＜10) ；

(3) 當(dāng)△EFO的面積最大時(shí)，△EFO∽△CBA，理由如下：

∵ ，

∴當(dāng)x=5，即EF=5時(shí)，S最大= ，

此時(shí)：，

∵FE∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

∴，

∴E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，

∵AO⊥BC，

∴，，

∴，

∴△EFO∽△CBA.