Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑作圓，分別交于點，交的延長線于點，過點作于點，連接交線段于點．

（1）求證：是圓的切線；

（2）若為的中點，求的值；

（3）若，求圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據同圓的半徑相等和等邊對等角證明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，則DH⊥OD，DH是圓O的切線；
（2）如圖2，先證明∠E=∠B=∠C，則H是EC的中點，設AE=x，EC=4x，則AC=3x，由OD是△ABC的中位線，得：，證明△AEF∽△ODF，列比例式可得結論；
（3）如圖2，設⊙O的半徑為r，即OD=OB=r，證明DF=OD=r，則DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，證明△BFD∽△EFA，列比例式為：，則，求出r的值即可．

證明：(1)連接 如圖1所示

是等腰三角形

又在中

由①②得：

是圓的切線

(2)如圖2，在圓中，

，

∴由(1)可知：，

是等腰三角形，

， 且點是中點，

設，，則，

連接， 則在圓中，， ，

，

是的中點，

是的中位線，

，

，

在和中，

，，

，

，

(3)如圖2，設的半徑為，即，

，

，

，

，

則，

，

，

，

在中，，

，

，是等腰三角形，

，

，

在和中，

,

，

解得: ， (舍)

綜上所述, 的半徑為.