Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點、（點在點的左側），與軸的正半軸交于點，頂點為.

（Ⅰ）若，，求此時拋物線頂點的坐標；

（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足

S_△BCE = S_△ABC，求此時直線的解析式；

（Ⅲ）將（Ⅰ）中的拋物線作適當的平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足

S_△BCE = 2S_△AOC，且頂點恰好落在直線上，求此時拋物線的解析式.

Answer 1

解：（Ⅰ）當，時，拋物線的解析式為，即.

∴ 拋物線頂點的坐標為（1，4）．               ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則頂點在對稱軸上，有，

∴ 拋物線的解析式為（）．

∴ 此時，拋物線與軸的交點為，頂點為．

∵ 方程的兩個根為，，

∴ 此時，拋物線與軸的交點為，．

如圖，過點作EF∥CB與軸交于點，連接，則S_△BCE = S_△BCF．

∵ S_△BCE = S_△ABC，

∴ S_△BCF = S_△ABC．

∴ ．

設對稱軸與軸交于點，

則．

由EF∥CB，得．

∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．

∴ ．結合題意，解得 ．

∴ 點，．