Question

【題目】閱讀下列材料，解決提出的問題：

最短路徑問題:如圖（1），點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點(diǎn)，如何在直線l上找到一個點(diǎn)C，使得點(diǎn)C到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，可知這個交點(diǎn)即為所求．

如圖（2），如果點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點(diǎn)，如何在l上找到一個點(diǎn)C，使得這個點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)B，這時對于直線l上的任一點(diǎn)C，都保持CB＝CB，從而把問題（2）變?yōu)閱栴}（1）．因此，線段AB與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求．

為了說明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′．因?yàn)?/span>AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．

任務(wù)：

數(shù)學(xué)思考

（1）材料中劃線部分的依據(jù)是　 　．

（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是　 　．（填字母代號即可）

A．轉(zhuǎn)化思想

B．分類討論思想

C．整體思想

遷移應(yīng)用

（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，點(diǎn)P為C邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)D為AB邊上的動點(diǎn)，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為　 　cm．

Answer 1

【答案】（1）兩點(diǎn)之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；（2）A；（3）4

【解析】

（1）依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；

（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化的思想；

（3）如圖（3）中，作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)B′，連接AB′．作BH⊥AB′于H．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，則PD＝PD′，推出PB+PD＝PB+PD′，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)D′與H重合，B，P，D′共線時，PB+PD的最小值＝線段BH的長；

（1）材料中劃線部分的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；

故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；

（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化的思想，

故答案為A．

（3）如圖（3）中，作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)B′，連接AB′．作BH⊥AB′于H．

作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，則PD＝PD′，

∴PB+PD＝PB+PD′，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)D′與H重合，B，P，D′共線時，PB+PD的最小值＝線段BH的長，

∵BC＝CB′，AC⊥BB′，

∴AB＝AB′，

∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，

∴∠BAH＝30°，

在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，

∴BH＝AB＝4cm，

∴PB+PD的最小值為4cm．

故答案為4．