Question

【題目】如圖，射線PA切⊙O于點(diǎn)A，連接PO．

（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫(xiě)作法），并證明PC是⊙O的切線；

（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點(diǎn)B，AB=AP=4，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)試題解析，證明見(jiàn)試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）按照作一個(gè)角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，由角平分線的性質(zhì)證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線；

（2）先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進(jìn)而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

試題解析：（1）作圖如右圖，連接OA，過(guò)O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切線；

（2）∵PA、PC是⊙O的切線，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等邊三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=，∴OA=，∴=．