Question

（2011•桃江縣模擬）閱讀材料：我們知道，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．
（1）如圖（1），O是等邊△ABC的內心，連接BO、CO并延長分別交AB、AC于點E、D，連接DE，求證：四邊形BCDE是等對邊四邊形；
（2）如圖（2），在不等邊△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC上的點，DE≠BC，且滿足∠EBC=∠DCB=25°，若四邊形BCED是等對邊四邊形，求∠A的度數．（提示：作BF⊥CD交CD的延長線于F，CG⊥BE于G）

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質和內心求出BE=CD=

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2

AB，即可得出答案；
（2）作BF⊥CD交CD的延長線于F，CG⊥BE于G，根據AAS證Rt△BCF≌Rt△CBG，推出BF=CG，證Rt△BDF≌Rt△CEG，推出∠BDF=∠CEG，求出∠BDF=∠DBE+50°，∠CEG=∠A+∠DBE，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵O是等邊三角形ABC的內心，
∴BD、CE都是三角形ABC的中線，
∴AD=DC=

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2

AC，AE=BE=

1

2

AB，AB=AC，
∴BE=CD，
即四邊形BCDE是等對邊四邊形．
                
（2）解：作BF⊥CD交CD的延長線于F，CG⊥BE于G，
在Rt△BCF與Rt△CBG中

∠BFC=∠CGB ∠DCB=∠EBC BC=BC

，
∴Rt△BCF≌Rt△CBG（AAS），
∴BF=CG，
在Rt△BDF與Rt△CEG中，

BF=CG BD=CE

，
∴Rt△BDF≌Rt△CEG（HL），
∴∠BDF=∠CEG，
∵∠BDF=∠DBE+∠EBC+∠BCD=∠DBE+50°，∠CEG=∠A+∠DBE
∴∠A=50°．

點評：本題考查了等邊三角形性質和全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用性質進行推理的能力，第（2）有一定的難度，對學生提出較高的要求．