Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x﹣4與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn)，P是線段AB上一動點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．

（1）直接寫出A、B、C的坐標(biāo)；

（2）求拋物線y=﹣x﹣4的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）求△PCD面積的最大值，并判斷當(dāng)△PCD的面積取最大值時(shí)，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）．（2）（1，﹣）（3）不是菱形

【解析】試題分析：（1）設(shè)y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐標(biāo)，設(shè)x=0，則可求出C的坐標(biāo)．

（2）拋物線：y=x2-x-4=（x-1）2-，所以拋物線的對稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-）．

（3）設(shè)P（x，0）（-2＜x＜4），由PD∥AC，可得到關(guān)于PD的比例式，由此得到PD和x的關(guān)系，再求出C到PD的距離（即P到AC的距離），利用三角形的面積公式可得到S和x的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出三角形面積的最大值，進(jìn)而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．

試題解析：（1）A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-4）．

（2）拋物線：y=x2-x-4=（x-1）2-，

∴拋物線的對稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-）．

（3）設(shè)P（x，0）（-2＜x＜4），

∵PD∥AC，

∴，

解得：PD=（x+2），

∵C到PD的距離（即P到AC的距離）：d=PA×sin450=（4-x），

∴△PCD的面積S=×PD×d=（x+2）（4-x）="-"x2+x+，

∴S=-（x-1）2+3，

∴△PCD面積的最大值為3，

當(dāng)△PCD的面積取最大值時(shí)，x=1，PA=4-x=3，PD=（x+2）=2，

因?yàn)?/span>PA≠PD，所以以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．