Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BE交AC于點E，過點E作直線BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：EF平分∠AEH；

（3）求證：CD=HF．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；

（2）∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∠BEC=∠BEH，根據(jù)BF是⊙O是直徑，

得到∠BEF=90°，∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，得到∠FEH=∠FEA，

即可證明FE平分∠AEH．
（3）連結(jié)DE，先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出CD=HF．

（1）證明：（1）如圖，連接OE．

∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，

∴BF是圓O的直徑，

∴OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切線；

（2）證明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，

∴∠BEC=∠BEH，

∵BF是⊙O是直徑，

∴∠BEF=90°，

∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，

∴∠FEH=∠FEA，

∴FE平分∠AEH．

（3）證明：如圖，連結(jié)DE．

∵BE是∠ABC的平分線，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE，

∵∠C=∠EHF=90°，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF，