Question

【題目】如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，且，的周長等于。

（1）求的長；

（2）若，并且，求證：。

Answer 1

【答案】（1）10；（2）證明見詳解

【解析】

（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周長=AC+BC，再求解即可；

（2）根據等腰三角形兩底角相等求出∠C=72°，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，根據等邊對等角可得∠ABE=∠A，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BEC=72°，從而得到∠BEC=∠C，然后根據等角對等邊求解．

解：如圖：

（1）∵AB的垂直平分線MN交AB于點D，:

∴AE=BE，

∴△BCE的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，

∵AC=15cm，

∴BC=25-15=10cm；

（2）證明：∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠C=（180°-∠A）=（180°-36°）=72°，

∵AB的垂直平分線MN交AB于點D，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A，

由三角形的外角性質得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，

∴∠BEC=∠C，

∴BC=BE．