【題目】如圖,AB、CD為 O的直徑,弦AE//CD,連接BE交CD于點F,過點E作直線EP與CD的延長線交于點P,使 PED= C.

(1)求證:PE是 O的切線;
(2)求證:ED平分 BEP;
(3)若 O的半徑為5,CF=2EF,求PD的長.

【答案】
(1)

證明:如圖,連接OE.
∵CD是圓O的直徑,
∴∠CED=90°.
∵OC=OE,
∴∠1=∠2.
又∵∠PED=∠C,即∠PED=∠1,
∴∠PED=∠2,
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°,即∠OEP=90°,
∴OE⊥EP,
又∵點E在圓上,
∴PE是⊙O的切線;


(2)

證明:∵AB、CD為⊙O的直徑,
∴∠AEB=∠CED=90°,
∴∠3=∠4(同角的余角相等).
又∵∠PED=∠1,AE//CD,
∴∠PED=∠1=∠3=∠4,
即ED平分∠BEP.


(3)

解:設EF=x,則CF=2x,
∵⊙O的半徑為5,
∴OF=2x-5,
在RT△OEF中,OE2=OF2+EF2,即52=x2+(2x-5)2,
解得x=4,
∴EF=4,
∴BE=2EF=8,CF=2EF=8,
∴DF=CD-CF=10-8=2,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠AEB=90°,
∵AB=10,BE=8,
∴AE=6,
∵∠BEP=2∠4=2∠1=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,
∴△AEB∽△EFP,
=,即=,

∴PF=,

∴PD=PF-DF=-2=


【解析】(1)連接OE.要證明PE是 ⊙ O的切線,則要證明∠OEP=∠CED=90°,則需要證明 ∠PED=∠2,而∠1=∠2.∠PED=∠1,可證得;
(2)根據(jù)同角的余角相等,可得∠3=∠4,又由∠PED=∠1,AE//CD,可得∠PED=∠1=∠3=∠4,即可證得;
(3)設EF=x,則CF=2x,根據(jù)勾股定理OE2=OF2+EF2 , 求出EF,BE,CF,DF;根據(jù)∠BEP=2∠4=2∠1=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,得到△AEB∽△EFP,從而根據(jù)相似三角形的性質求得PF,則PD=PF-DF.
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理和相似三角形的判定與性質,需要了解切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.

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