Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）若矩形周長是18，且tan∠CAE＝2，則四邊形ABDF的周長是　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6+3

【解析】

（1）求出∠DAE＝90°，根據三個角是直角是四邊形是矩形即可證明；

（2）根據矩形的性質得到AE＝CD，AE∥CD，推出四邊形ABDE是平行四邊形，得到AB＝DE，設AE＝x，CE＝2x，根據矩形周長是18，求得AE＝3，CE＝6，根據勾股定理得到AC＝，于是得到結論．

（1）證明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．

∴∠ADC＝90°，

∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，

∴∠MAN＝∠CAN．

∴∠DAE＝90°，

∵CE⊥AN，

∴∠AEC＝90°，

∴四邊形ADCE為矩形；

（2）解：∵四邊形ADCE為矩形，

∴AE＝CD，AE∥CD，

∵BD＝CD，

∴AE＝BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AB＝DE，

∵tan∠CAE＝＝2，

∴設AE＝x，CE＝2x，

∵矩形周長是18，

∴x+2x＝9，

∴x＝3，

∴AE＝3，CE＝6，

∴AC＝，

∴AB＝AC＝，DF＝AF＝AC＝，

∴四邊形ABDF的周長是2×3+3＝6+3，

故答案為：6+3．