Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為三角形內一點，且△DBC為等邊三角形．

（1）求證：直線AD垂直平分BC；

（2）以AB為一邊，在AB的右側畫等邊△ABE，連接DE，試判斷以DA，DB，DE三條線段是否能構成直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）能構成直角三角形，理由見解析.

【解析】

(1)由AB=AC確定點A在線段BC的垂直平分線上，再由等邊三角形△DBC知DB=DC，即可確定直線AD垂直平分BC；（2）連接CE，利用三角形全等證明AD=CE，再依據(jù)DB=DC，將三條邊轉化為同一個三角形的三條邊，再求得∠DCE=900即可判斷.

證明：（1）∵△DBC為等邊三角形，

∴DB＝DC，

∴D在BC的垂直平分線上，

∵AB＝AC，

∴A在BC的垂直平分線上，

∴直線AD垂直平分BC；

（2）以DA，DB，DE三條線段能構成直角三角形；

連接CE，

∵∠ABE=∠DBC=60°，

∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE，

∴∠ABD＝∠EBC，

在△EBC和△ABD中，，

∴△EBC≌△ABD，

∴∠BCE＝∠ADB，AD＝CE，

在△ADB和△ADC中， ，

∴△ADB≌△ADC，

∴∠ADB＝∠ADC，

∴∠ADB＝（360°﹣∠BCD）＝150°，

∴∠BCE＝∠BDA＝150°，

∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝150°﹣60°＝90°，

∵CE＝DA，DC＝DB，

∴以DA，DB，DE三條線段能構成直角三角形.-