Question

【題目】如圖，△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，⊙O過(guò)D、B、C三點(diǎn)，∠DOC=2∠ACD=90°．

（1）求證：直線AC是⊙O的切線；

（2）如果∠ACB=75°，⊙O的半徑為2，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2.

【解析】

（1）證明OC⊥AC即可．根據(jù)∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°，又∠ACD=45°，所以∠ACO=90°，得證；

（2）如果∠ACB=75°，∠ACD=30°，則∠BCD=30°．作DE⊥BC，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到解直角三角形求解，先求求DE，最后求BD得解.

（1）∵OD=OC，∠DOC=90°，∴∠ODC=∠OCD=45°.

∵∠DOC=2∠ACD=90°，∴∠ACD=45°.

∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°

∵點(diǎn)C在圓O上，∴直線AC是圓O的切線.

（2）∵OD=OC=2，∠DOC=90°，∴CD=2.

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，∴∠BCD=30°.

作DE⊥BC于點(diǎn)E，則∠DEC=90°，

∴DE=DCsin30°=.

∵∠B=45°，∴DB=2.