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如圖，拋物線的頂點坐標為M（1，4），與x軸的一個交點是A（-1，0），與y軸交于點B，直線x=1交x軸于點N．
（1）求拋物線的解析式及點B的坐標；
（2）求經過B、M兩點的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點C的坐標；
（3）若點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點，使精英家教網以P為圓心的圓經過點A，并且與直線BM相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
分析：（1）設拋物線的解析式是y=a（x-1）2+4，將A（-1，0）點坐標代入解析式即可，然后令x=0即可求出點B的坐標；
（2）設直線BM的解析式為y=kx+b，將BM兩點坐標代入y=kx+b即可求得直線的解析式，令y=0即可求出點C的坐標；
（3）連接PA，過點P作PQ⊥BM，根據三角形相似的性質列出關于m的方程，解方程得出符合條件的解即使點P的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（1，4）
∴設拋物線的解析式是y=a（x-1）2+4
把A點坐標x=-1，y=0代入，得0=a（-1-1）2+4，
∴a=-1
∴拋物線的解析式是y=-（x-1）2+4
即y=-x2+2x+3
令x=0，得y=3，
∴B點的坐標是（0，3）；

（2）設直線BM的解析式為y=kx+b，
把x=0，y=3；x=1，y=（4分）別代入，得
3=b
4=k+b
，
解得：
k=1
b=3
，
∴直線BM的解析式是y=x+3，
令y=0．得0=x+3，精英家教網
∴x=-3，
∴C點坐標是（-3，0）；

（3）假設存在滿足題意的點P（1，m），其中m＞0．
連接PA，則PA是⊙P的半徑．
在Rt△PAN中，PA=
m2+22
=
m2+4
，
過點P作PQ⊥BM，垂足為Q．
則PQ=PA時，⊙P與直線BM相切．
在Rt△MPQ和Rt△MCN，sin∠CMN=
PQ
PM
=
CN
CM
，
∴
m2+4
4-m
=
4
4
2
，
整理，得m2+8m-8=0，
解這個方程，得m1=-4+2
6
，m2=-4-2
6
（，舍去）
∴存在滿足題意的點P，其坐標為（1，-4+2
6
）．
點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和三角形的相似及動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•寶山區(qū)一模）在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），頂點為B．艾思軻同學用一把寬3cm的矩形直尺對拋物線進行如下測量：（1）量得OA=3cm，（2）當把直尺的左邊與拋物線的對稱抽重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合時（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點C的刻度讀數為4.5cm．
艾思軻同學將A的坐標記作（3，0），然后利用上述結論嘗試完成下列各題：
（1）寫出拋物線的對稱軸；
（2）求出該拋物線的解析式；
（3）探究拋物線的對稱軸上是否存在使△ACD周長最小的點D；
（4）然后又將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點A的右邊（如圖2），直尺的兩邊交x軸于點H，G，交拋物線于E，F(xiàn)，探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長度是否存在函數關系．
同學：如上述（3）（4）結論存在，請你幫艾思軻同學一起完成，如上述（3）（4）結論不存在，請你告訴艾思軻同學結論不存在的理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，將一塊腰長為2
2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置，BC邊與x軸重合，∠ACB=90°，直角頂點C的坐標為（-3，0）．
（1）點A的坐標為
（-3，2
2
）
（-3，2
2
）
，點B的坐為
(-3-2
2
，0)
(-3-2
2
，0)
；
（2）求以原點O為頂點且過點A的拋物線的解析式；
（3）現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移，則平移的時間為多少秒時，三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切？

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，將一塊腰長為數學公式cm的等腰直角三角板ABC如圖放置，BC邊與x軸重合，∠ACB=90°，直角頂點C的坐標為（-3，0）．
（1）點A的坐標為________，點B的坐為________；
（2）求以原點O為頂點且過點A的拋物線的解析式；
（3）現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移，則平移的時間為多少秒時，三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切？

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），頂點為B．艾思軻同學用一把寬3cm的矩形直尺對拋物線進行如下測量：（1）量得OA=3cm，（2）當把直尺的左邊與拋物線的對稱抽重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合時（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點C的刻度讀數為4.5cm．
艾思軻同學將A的坐標記作（3，0），然后利用上述結論嘗試完成下列各題：
（1）寫出拋物線的對稱軸；
（2）求出該拋物線的解析式；
（3）探究拋物線的對稱軸上是否存在使△ACD周長最小的點D；
（4）然后又將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點A的右邊（如圖2），直尺的兩邊交x軸于點H，G，交拋物線于E，F(xiàn)，探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長度是否存在函數關系．
同學：如上述（3）（4）結論存在，請你幫艾思軻同學一起完成，如上述（3）（4）結論不存在，請你告訴艾思軻同學結論不存在的理由．

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科目：初中數學 來源：2013年上海市寶山區(qū)中考數學一模試卷（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），頂點為B．艾思軻同學用一把寬3cm的矩形直尺對拋物線進行如下測量：（1）量得OA=3cm，（2）當把直尺的左邊與拋物線的對稱抽重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合時（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點C的刻度讀數為4.5cm．
艾思軻同學將A的坐標記作（3，0），然后利用上述結論嘗試完成下列各題：
（1）寫出拋物線的對稱軸；
（2）求出該拋物線的解析式；
（3）探究拋物線的對稱軸上是否存在使△ACD周長最小的點D；
（4）然后又將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點A的右邊（如圖2），直尺的兩邊交x軸于點H，G，交拋物線于E，F(xiàn)，探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長度是否存在函數關系．
同學：如上述（3）（4）結論存在，請你幫艾思軻同學一起完成，如上述（3）（4）結論不存在，請你告訴艾思軻同學結論不存在的理由．

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