Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x－2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是直線AB上一動點(diǎn)，⊙P的半徑為1.

(1)判斷原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時，求⊙P被y軸所截得的劣弧的長；

(3)當(dāng)⊙P與x軸相切時，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）原點(diǎn)O在⊙P外 （2） （3） 或

解：(1)原點(diǎn)O在⊙P外．理由如下：∵直線y＝x－2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－2)．在Rt△OAB中，tan∠OBA＝＝＝，∴∠OBA＝30°.如圖①，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝.∵＞1，∴原點(diǎn)O在⊙P外；

(2)如圖②，當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，∴⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角的度數(shù)為180°－30°－30°＝120°，∴弧長為＝；同理：當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時，弧長同樣為.∴當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時，⊙P被y軸所截得的劣弧的長為；

(3)如圖③，當(dāng)⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，設(shè)切點(diǎn)為D，作PD⊥x軸，∴PD∥y軸，∴∠APD＝∠ABO＝30°.在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝，∴OD＝OA－AD＝2－，∴此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為；當(dāng)⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，根據(jù)對稱性可以求得此時切點(diǎn)的坐標(biāo)為.綜上所述，當(dāng)⊙P與x軸相切時，切點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】試題分析： 由直線 與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，可求得點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而求得∠OBA＝30°.然后過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，利用三角函數(shù)可求得的長，繼而求得答案；

當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時，⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角的度數(shù)為180°－30°－30°＝120°，則可求得弧長；同理可求得⊙P過點(diǎn)B時，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時， ⊙P被y軸所截的劣弧的長；

首先求得⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，設(shè)切點(diǎn)為D，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用對稱性可以求得當(dāng)⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，點(diǎn)D的坐標(biāo)．

試題解析：(1)原點(diǎn)O在⊙P外．

理由如下：∵直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

在Rt△OAB中，

∴∠OBA＝30°.

如圖①，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，

在Rt△OBH中，

∴原點(diǎn)O在⊙P外；

(2)如圖②，當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時，

∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，

∴⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角的度數(shù)為180°－30°－30°＝120°，

∴弧長為：

同理：當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時，弧長同樣為

∴當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時，⊙P被y軸所截得的劣弧的長為

(3)如圖③，當(dāng)⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，設(shè)切點(diǎn)為D，作PD⊥x軸，∴PD∥y軸，∴∠APD＝∠ABO＝30°.

在Rt△DAP中，

∴此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為

當(dāng)⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，根據(jù)對稱性可以求得此時切點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上所述，當(dāng)⊙P與x軸相切時，切點(diǎn)的坐標(biāo)為或.