【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知
的直角頂點
,斜邊
在
軸上,且點
的坐標為
,點
是
的中點,點
是
邊上的一個動點,拋物線
過
,
,
三點.
(1)當時,
①求拋物線的解析式;
②平行于對稱軸的直線與
軸,
,
分別交于點
,
,
,若以點
,
,
為頂點的三角形與
相似,求點
的值.
(2)以為等腰三角形頂角頂點,
為腰構造等腰
,且
點落在
軸上.若在
軸上滿足條件的
點有且只有一個時,請直接寫出點
的坐標.
【答案】(1)①;②
的值為
或0;(2)
或
.
【解析】
(1)①先由A、C的坐標求出點D的坐標,由勾股定理求出AC,通過三角函數可求出DE,即可得到E點坐標,然后將D、E代入即可;②分
和
兩種情況討論,根據三角函數求解;
(2)分兩種情況:①EG⊥AB,②以E為圓心DE為半徑作圓,交AB延長線于M,過E作EH⊥AB于H, D、E、M三點共線時.
(1)①∵點,點
,
∴,
,
在中,
,
∵點是
的中點,
∴點的坐標為
,
,
∵,
∴,
∴,即
,
∴,
∴的坐標為
,即
,
把和D
代入
,
得,
解得,
∴拋物線的解析式為.
②當時,可得
,
解得,
∴;
當時,可得
,
解得,
∴.
綜上所述,的值為
或0.
(2)若在軸上滿足條件的
點有且只有一個,則有兩種情況,
第一種情況,EG⊥AB,如圖,
∠A+∠B=90°,∠B+∠BCO=90°,∠B+∠BEG=90°,
∴∠A=∠BCO=∠BEG,
∴△AOC∽△COB,△AOC∽△COB,
∴,
,
∴,即
,
,即
,
設,則
,
,
在直角三角形CDE中,,
∴,
解得或
(舍),
,
由,
得
,
,
∴,
∴E點坐標為,
第二種情況如圖,以E為圓心DE為半徑作圓,交AB延長線于M,過E作EH⊥AB于H, D、E、M三點共線時,
則E為DM的中點,
由D可知E的縱坐標為3,即EH=3,
由題可知△EHB∽△COB,
∴即
,
∴HB=4,OH=OB-HB=16-4=12,
∴E點坐標為,
∴答案為或
.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】南海是我國的南大門,如圖所示,某天我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域正在進行常態(tài)化巡航,在A處測得北偏東30°方向上,距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行,便迅速沿北偏東75°的方向前往監(jiān)視巡查,經過一段時間后,在C處成功攔截不明船只,問我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了多少海里(最后結果保留整數)?
(參考數據:cos75°=0.2588,sin75°=0.9659,tan75°=3.732,
=1.732,
=1.414)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,點E為
的中點,連接
,過點D作
于點F,過點C作
于點N,延長
交
于點M.
(1)求證:
(2)連接CF,并延長CF交AB于G
①若,求
的長度;
②探究當為何值時,點G恰好為AB的中點.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知y關于x的二次函數y=x-bx+b+b-5的圖象與x軸有兩個公共點.
(1)求b的取值范圍;
(2)若b取滿足條件的最大整數值,當m≤x≤時,函數y的取值范圍是n≤y≤6-2m,求m,n的值;
(3)若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下,對應函數y的最小值為,求此時二次函數的解析式.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】我們知道:頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角,一條弧所對的圓周角的度數等于它所對的圓心角度數的一半.類似地,我們定義:頂點在圓外,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓外角.
(1)判斷:圖中有沒有圓外角?如果有,請用字母表示出來.
(2)運用所學的數學知識,探究:圓外角的度數與它所夾的弧所對的圓心角的度數有什么關系?將你的發(fā)現,用文字表述出來,并說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】【發(fā)現證明】
如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數量關系.
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,通過證明△AEF≌△AGF;從而發(fā)現并證明了EF=BE+FD.
【類比引申】
(1)如圖2,點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上,∠EAF=45°,連接EF,請根據小聰的發(fā)現給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數量關系,并證明;
【聯想拓展】
(2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】今年 3 月 12 日植樹節(jié)期間, 學校預購進 A、B 兩種樹苗,若購進 A種樹苗 3 棵,B 種樹苗 5 棵,需 2100 元,若購進 A 種樹苗 4 棵,B 種樹苗 10棵,需 3800 元.
(1)求購進 A、B 兩種樹苗的單價;
(2)若該單位準備用不多于 8000 元的錢購進這兩種樹苗共 30 棵,求 A 種樹苗至少需購進多少棵?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】[問題]小明在學習時遇到這樣一個問題:求不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集.
他經歷了如下思考過程:
[回顧]
(1)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2=交于A (1,3)和B(﹣3,﹣1),則不等式ax+b>
的解集是 .
[探究]將不等式x3+3x2﹣x﹣3>0按條件進行轉化:
當x=0時,原不等式不成立;
當x>0時,不等式兩邊同除以x并移項轉化為x2+3x﹣1>;
當x<0時,不等式兩邊同除以x并移項轉化為x2+3x﹣1<.
(2)構造函數,畫出圖象:
設y3=x2+3x﹣1,y4=,在同一坐標系中分別畫出這兩個函數的圖象;
雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標系中畫出拋物線y=x2+3x﹣1.(不用列表)
(3)確定兩個函數圖象公共點的橫坐標:
觀察所畫兩個函數的圖象,猜想并通過代入函數解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為 .
[解決]
(4)借助圖象,寫出解集:
結合“探究”中的討論,觀察兩個函數的圖象可知:不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集為 .
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