Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）如圖1，連接AC分別交DE、DF于點(diǎn)M、N，求證：MN= AC；
（2）如圖2，將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點(diǎn)G、P，連接GP，當(dāng)△DGP的面積等于3 時，求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：如圖1 ，

連接BD，交AC于O，

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∵DE⊥AB，

∴AE=EB，

∵AB∥DC，

∴ = ，

同理， = ，

∴MN= AC；

（2）

解：解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，

∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，

∴∠EDF=60°，

當(dāng)∠EDF順時針旋轉(zhuǎn)時，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，

DE=DF= ，∠DEG=∠DFP=90°，

在△DEG和△DFP中，

，

∴△DEG≌△DFP，

∴DG=DP，

∴△DGP為等邊三角形，

∴△DGP的面積= DG2=3 ，

解得，DG=2 ，

則cos∠EDG= = ，

∴∠EDG=60°，

∴當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn)60°時，△DGP的面積等于3 ，

同理可得，當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)60°時，△DGP的面積也等于3 ，

綜上所述，將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)60°時，△DGP的面積等于3 ．

【解析】（1）連接BD，證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AE=EB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）分∠EDF順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)兩種情況，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．本題考查的是菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．