Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的圓內接四邊形，DE∥AC交BC的延長線于點E．

（1）求證：AB·DE=BD·DC；

（2）如果AD=CD，求證：DE為⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據圓內接四邊形的性質及平角的性質證得∠DCE=∠BAD，利用平行線的性質及圓周角定理證得∠E=∠ADB，繼而證得△ABD∽△CDE，從而證得結論；

（2）連接OD，根據垂徑定理證得OD⊥AC，利用AC∥DE結合切線的判定定理即可證得結論．

（1）∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，

∴∠BAD＋∠BCD=180°，

由∵∠BCD＋∠DCE=180°，

∴∠DCE=∠BAD．

∵DE∥AC，

∴∠E=∠ACB；

又∵∠ACB=∠ADB，

∴∠E=∠ADB．

∴△ABD∽△CDE，

∴，

∴AB·DE=BD·DC；

（2）連接OD，

∵AD=CD，

∴=，即D為的中點，

∴OD⊥AC；

∵AC∥DE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線．