【題目】如圖,在正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點,連接AE,BF交于點G,將△BCF沿BF對折,得到△BPF,延長FP交BA延長線于點Q,下列結論正確的個數是( )
①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP= ;④S四邊形ECFG=2S△BGE .
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】B
【解析】解:∵E,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點,
∴CF=BE,
在△ABE和△BCF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故①正確;
又∵∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠CBF+∠BEA=90°,
∴∠BGE=90°,
∴AE⊥BF,故②正確;
根據題意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°
∵CD∥AB,
∴∠CFB=∠ABF,
∴∠ABF=∠PFB,
∴QF=QB,
令PF=k(k>0),則PB=2k
在Rt△BPQ中,設QB=x,
∴x2=(x﹣k)2+4k2 ,
∴x= ,
∴sin=∠BQP= = ,故③正確;
∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,
∴△BGE∽△BCF,
∵BE= BC,BF= BC,
∴BE:BF=1: ,
∴△BGE的面積:△BCF的面積=1:5,
∴S四邊形ECFG=4S△BGE , 故④錯誤.
故選:B.
【考點精析】認真審題,首先需要了解相似三角形的性質(對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形).
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【題目】如圖,高速公路的同一側有A、B兩城鎮(zhèn),它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′=2 km,BB′=4 km,且A′B′=8 km.
(1)要在高速公路上A′、B′之間建一個出口P,使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.請在圖中畫出P的位置,并作簡單說明.
(2)求這個最短距離.
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【題目】某廠按用戶的月需求量x(件)完成一種產品的生產,其中x>0,每件的售價為18萬元,每件的成本y(萬元)是基礎價與浮動價的和,其中基礎價保持不變,浮動價與月需求量x(件)成反比,經市場調研發(fā)現,月需求量x與月份n(n為整數,1≤n≤12),符合關系式x=2n2﹣2kn+9(k+3)(k為常數),且得到了表中的數據.
月份n(月) | 1 | 2 |
成本y(萬元/件) | 11 | 12 |
需求量x(件/月) | 120 | 100 |
(1)求y與x滿足的關系式,請說明一件產品的利潤能否是12萬元;
(2)求k,并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損;
(3)在這一年12個月中,若第m個月和第(m+1)個月的利潤相差最大,求m.
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【題目】已知,矩形OABC在平面直角坐標系內的位置如圖所示,點O為坐標原點,點A的坐標示為(10,0),點B的坐標為(10,8) .
(1)直接寫出點C的坐標為:C( ____ ,_____);
(2)已知直線AC與雙曲線y= (m≠0)在第一象限內有一點交點Q為(5,n),
①求m及n的值;
②若動點P從A點出發(fā),沿折線AO→OC→CB的路徑以每秒2個單位長度的速度運動,到達B處停止,△APQ的面積為S,當t取何值時,S=10.
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【題目】在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=22.5°,E在AB上,且∠DCE=67.5°,DE⊥AB于E,若AE=1,線段BE的長為____________.
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【題目】(1)如圖1,若CO⊥AB,垂足為O,OE、OF分別平分∠AOC與∠BOC.求∠EOF的度數;
(2)如圖2,若∠AOC=∠BOD=80°,OE、OF分別平分∠AOD與∠BOC.求∠EOF的度數;
(3)若∠AOC=∠BOD=α,將∠BOD繞點O旋轉,使得射線OC與射線OD的夾角為β,OE、OF分別平分∠AOD與∠BOC.若α+β≤180°,α>β,則∠EOC= .(用含α與β的代數式表示)
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【題目】如圖所示,山坡上有一棵與水平面垂直的大樹,一場臺風過后,大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上,樹的頂部恰好接觸到坡面.已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得樹干傾斜角∠BAC=38°,大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=6m.
(1)求∠CAE的度數;
(2)求這棵大樹折斷前的高度?
(結果精確到個位,參考數據: =1.4, =1.7, =2.4).
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