Question

【題目】一次團體操排練活動中，

（1）如圖，老師讓大家站成一個形如正方形的點陣，第一層每邊有三個點，第二層每邊有五個點，第三層每邊有七個點，依此類推，則第四層的總點數(shù)是　 　；第n層（n為正整數(shù)）的總點數(shù)是　 　；

（2）某班45名學生面向老師站成一列橫隊．老師每次讓其中任意6名學生向后轉（不論原來方向如何），能否經過若干次后全體學生都背向老師站立？如果能夠，請你設計一種方案；如果不能夠，請聯(lián)系有理數(shù)乘法的知識說明理由．

Answer 1

【答案】（1）32；8n；（2）不能夠，理由見解析

【解析】

（1）觀察圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得結論；

（2）根據(jù)具體問題，在一定假設條件下找出解決問題的數(shù)學框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程，即為建模思想．

解：（1）觀察圖形的變化可知：

第1層的總點數(shù)是8；

第2層的總點數(shù)是2×5+2×3＝16；

第3層的總點數(shù)是2×7+2×5＝24；

第4層的總點數(shù)是4×8＝32；

…

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

第n層的總點數(shù)是8n；

故答案為32、8n．

（2）不能夠，理由如下：

假設面向老師站立記為“+1”，則背向老師站立為“﹣1”．

原來45個“+1”，乘積為“+1”，每次改變其中的6個數(shù)，

即每次運算乘以6個“﹣1”，即乘以了“+1”，

不改變這45個數(shù)的乘積的符號，始終是“+1”，

而最后要達到的目標是45個“﹣1”，

乘積為“﹣1”，故這是不可能的．